Neuere Methoden und Ergebnisse der Ergodentheorie

Seit dem Erscheinen des berfihmten Ergebnisberichts von E. HOPF [9] (1937) ist eine umfangreiche Literatur fiber ergodentheoretische Fragen entstanden. Die vorliegende Arbeit ist ein Versuch, in diese Literatur ein zuffihren und die wesentlichsten Ergebnisse geschlossen darzustellen. Zusammenfassende Darstellungen einzelner Fragenkreise sind bereits frfiher in den Arbeiten von DUNFORD-SCHWARTZ [1], HALMOS [9], [to], KAKUTANI [11] und OXTOBY [3], [4] gegeben worden. Ichhabe michstark auf sie gestfitzt. Als Einffihrung und Uberblick ist das reizvolle Bfichlein von HALMOS [to] sehr zu empfehlen. Bei der Sichtung des Materials schien es mir zweckmaBig, zwei Teil gebiete von vornherein auszuscheiden: 1. Die rein topologischen Unter suchungen; sie sind in dem Buch von GOTTSCHALK-HEDLUND [3] syste matisch entwickelt; ich habe lediglich in Kap. 5
1 eine kleine Kostprobe eingeffigt. 2. Die Untersuchungen fiber geodatische Stromungen; hieruber gibt es systematische Darstellungen bei HOPF [9], [to] und GOTTSCHALK HEDLUND [3]. Das Literaturverzeichnis umfaBt gleichwohl auch diese beiden Disziplinen; ich habe versucht, es so vollstandig wie moglich zu machen. Es enthalt daher auch Arbeiten, die im Text nicht zitiert werden. - Ferner habe ich alle spektral-theoretischen Untersuchungen beiseitegelassen (vgl. HOPF [9], auch HALMOS [to]) undstattdessen Unter suchungen fiber Fastperiodizitat ausfUhrlicher behandelt (Kap. 1,
6 und 7). - DooB [9] und KAKUTANI [11] haben Analogien zwischen dem individuellen Ergodensatz und dem bekannten Satz fiber die Fastfiberall konvergenz von Martingalen hervorgehoben. In Kap.

Inhalt
Erstes Kapitel: Funktionalanalytische Ergodentheorie.- § 1: Der Ergodensatz für eine einzelne Transformation im Hilbertraum.- § 2. Allgemeine funktionalanalytische Ergodensätze (mean ergodic theorems).- § 3. Parametrisierte Halbgruppen.- § 4. Weitere Untersuchungen.- § 5. Halbgruppen und ihre Hüllen.- § 6. Allgemeine funktionalanalytische Wiederkehrsätze (Aufspaltungssätze).- § 7. Fastperiodizität.- § 8. Halbgruppen in Hilberträumen.- § 9. Normkonvergenz von Martingalen.- Zweites Kapitel: Markoffsche Prozesse.- § 1. Stochastische Kerne und Markoffsche Prozesse.- § 2. Markoffsche Prozesse mit endlichem ?.- § 3. Markoffsche Prozesse mit beliebigem ?.- § 4. Hinreichende Bedingungen für die Annahme (K).- § 5. Verwandte Fragestellungen.- Drittes Kapitel: Der individuelle Ergodensatz.- § 1. Der individuelle Ergodensatz für diskrete Punktströmungen.- § 2. Der individuelle Ergodensatz für Operatoren.- § 3. Kontinuierliche Halbgruppen.- § 4. Strömungen ohne invariantes Maß.- § 5. Weitere Untersuchungen.- § 6. Fastüberall-Konvergenz von Martingalen.- Viertes Kapitel: Strömungseigenschaften im Großen.- § 1. Rekurrenz.- § 2. Ergodizität.- § 3. Starke Mischung.- § 4. Schwache Mischung.- § 5. Beispiele.- § 6. Zerlegung in ergodische Bestandteile.- § 7. Normalformen.- § 8. Die Existenz invarianter Maße.- Fünftes Kapitel: Topologische Strömungen.- § 1. Rein topologische Untersuchungen.- § 2. Topologisch-maßtheoretische Untersuchungen.- § 3. Maßtheoretische Untersuchungen im nichtkompakten Falle.- § 4. Verwandte Fragestellungen.- Sechstes Kapitel: Topologische Untersuchungen im Raum der maßtreuen Transformationen.- § 1. Periodische und antiperiodische Transformationen.- § 2. Die starke Metrik.- § 3. Das starke Dichtliegen derperiodischen Transformationen.- § 4. Die schwache Topologie.- § 5. Das schwache Dichtliegen der Permutationen.- § 6. Die topologische Häufigkeit der ergodischen schwachmischenden und starkmischenden Transformationen.- Siebtes Kapitel: Nichtstationäre Probleme.- § 1. Zufallsgesteuerte maßtreue Strömungen.- § 2. Nichtstationäre Markoffsche Prozesse.- Achtes Kapitel: Funktionalanalytische Methoden.- § 1. Filter.- § 2. Topologische Räume.- § 3. Metrische Räume.- § 4. Topologische Vektorräume.- § 5. Banachräume.- § 6. Lineare Transformationen. Halbgruppen.- § 7. Banachverbände.- § 8. Hilberträume.- Neuntes Kapitel: Maß und Integral. Spezielle Vektorräume.- § 1. Mengenkörper und Borelkörper.- § 2. Inhalt und Maß.- § 3. Meßbare Abbildungen, Isomorphie.- § 4. Der Banachverband der endlichen Ladungsverteilungen.- § 5. Integration.- § 6. Die Räume Lmp.- § 7. Maßtheoretische Konvergenzbegriffe für Funktionen.- § 8. Bedingte Erwartungen und Verteilungen.- § 9. Maße in Produkträumen.- § 10. Direkte Summen von Maßen.- § 11. Meßbare Abbildungen und lineare Transformationen.- Literatur.- Namen- und Sach-Verzeichnis.