Elemente der Zahlentheorie

Der Absicht dieser Reihe entsprechend, beschränkt sich die Darstellung auf diejenigen zahlen theoretischen Themen, die als unmittelbar zugängliche und grundlegende Gegen stände als Hintergrundwissen auch schulisches Interesse besitzen. Der Reiz der Eingangsprobleme beruht darin, daß sie noch geometrisch-anschaulich interpretierbar sind (vgl. den A-Teil von Kapitell), andererseits aber auch in der großen Fülle von elementar zugänglichen Beobachtungen, die schnell zu überraschenden Ver mutungen fUhren. Beispiele für Sammlungen derartigen Materials - und dies auf völlig verschiedenen Ebenen - enthalten die A-Teile der beiden letzten Kapitel. Die Einsicht in die dargestellten Gegenstände verlangt weder spezielle Kenntnisse noc- auf dem hier gewählten Niveau - komplizierte Begriffsbildungen. Der Gegenstand selbst - die ganzen Zahlen und die z. T. merkwürdigen Beziehungen zwischen ihne- aber ist abstrakt. Deshalb können wir auch nur in den A-Teilen geometrische Vorstel lungen heranziehen, die Beweise der leicht verständlichen Aussagen sind unanschaulich und müssen dem Anfanger gelegentlich "trickreich" erscheinen. Viele Schlüsse werden indirekt geruhrt, auch die vollständige Induktion wird oft bemüht. Bemerkenswert ist, daß ein Prinzip - hier Darstellungssatz genannt (vgl. Satz 1.1 und 1. 7) - sich durch gängig als starkes Hilfsmittel erweist. Seine didaktische Bedeutung wird insbesondere in Abschn. 3.1 beleuchtet.

Klappentext

Der Absicht dieser Reihe entsprechend, beschränkt sich die Darstellung auf diejenigen zahlen theoretischen Themen, die als unmittelbar zugängliche und grundlegende Gegen­ stände als Hintergrundwissen auch schulisches Interesse besitzen. Der Reiz der Eingangsprobleme beruht darin, daß sie noch geometrisch-anschaulich interpretierbar sind (vgl. den A-Teil von Kapitell), andererseits aber auch in der großen Fülle von elementar zugänglichen Beobachtungen, die schnell zu überraschenden Ver­ mutungen fUhren. Beispiele für Sammlungen derartigen Materials - und dies auf völlig verschiedenen Ebenen - enthalten die A-Teile der beiden letzten Kapitel. Die Einsicht in die dargestellten Gegenstände verlangt weder spezielle Kenntnisse noc- auf dem hier gewählten Niveau - komplizierte Begriffsbildungen. Der Gegenstand selbst - die ganzen Zahlen und die z. T. merkwürdigen Beziehungen zwischen ihne- aber ist abstrakt. Deshalb können wir auch nur in den A-Teilen geometrische Vorstel­ lungen heranziehen, die Beweise der leicht verständlichen Aussagen sind unanschaulich und müssen dem Anfanger gelegentlich "trickreich" erscheinen. Viele Schlüsse werden indirekt geruhrt, auch die vollständige Induktion wird oft bemüht. Bemerkenswert ist, daß ein Prinzip - hier Darstellungssatz genannt (vgl. Satz 1.1 und 1. 7) - sich durch­ gängig als starkes Hilfsmittel erweist. Seine didaktische Bedeutung wird insbesondere in Abschn. 3.1 beleuchtet.

Inhalt
1 Teiler und Vielfache, Primzahlen.- A 1.1 Der Darstellungssatz Teiler und Vielfache.- 1.2 Gemeinsame Vielfache.- 1.3 Gemeinsame Teiler.- 1.4 Gemeinsame Teiler und Vielfache.- 1.5 Produktdarstellung natürlicher Zahlen.- 1.6 Eine graphische Darstellung für natürliche Zahlen.- B 1.7 Der Darstellungssatz.- 1.8 Teilbarkeit.- 1.9 Analogien zwischen ggT und kgV.- 1.10 Der Euklidische Algorithmus.- 1.11 Diophantische Gleichungen.- 1.12 Primzahlen.- 1.13 Die Primzahlzerlegung als Beweismittel.- C 1.14 Teiler, Vielfache, Primzahlen im Unterricht.- 2 Systemzahlen und Systembrüche.- A 2.1 Systemzahlen.- 2.2 Dezimalbrüche.- B 2.3 Der Divisionsalgorithmus.- 2.4 Folgerungen aus dem Divisionsalgorithmus.- 2.5 Die Sätze von Euler und Fermat.- C 2.6 Die Problematik der Stellenwertsysteme in der Schule.- 3 Kongruenzen.- A 3.1 Probleme, auf die der Darstellungssatz führt.- B 3.2 Restklassen.- 3.3 Restklassenaddition.- 3.4 Die Restklassenmultiplikation.- 3.5 Die Eulersche ?-Funktion.- 3.6 Lösungen von Kongruenzen.- 3.7 Nichtlineare Kongruenzen, Teilbarkeitsregeln.- 3.8 Durchschnitte von Restklassen.- C 3.9 Restklassen im mathematischen Unterricht.- Lösungen ausgewählter Aufgaben.