Indocti discant, et ament meminisse periti 1. Die Idee der Riemannschen Flache wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlichen erst seit Beginn der 50er Jahre konsequent verwendet. Wie in der Funktionentheorie einer Verander lichen muB man die Gebilde untersuchen, die durch groBtmogliche analytische Fortsetzung von holomorphen Funktionen entstehen. Die gleichen Griinde wie in der klassischen Funktionentheorie machen es notwendig, die Verzweigungspunkte hinzuzunehmen. Das fiihrte jedoch auf begriffiiche Schwierigkeiten, die 1933 H. Behnke und P. Thullen in ihrem Ergebnisbericht sogar veranlaBten, diese Punkte vorerst von der Betrachtung auszuschlieBen. Eine zufriedenstellende Definition des Ver zweigungsbegriffs wurde erst 1951 von H. Behnke und K. Stein (Math. Ann. 124) gegeben. Die von ihnen eingefiihrten komplex~n Riiume um fassen insbesondere die analytischen Gebilde holomorpher Funktiollen mehrerer Veranderlicher, d. h. die hOherdimensionalen Riemannschen Flachen. Dabei stellte sich heraus, daB diese Riemannschen Gebilde - anders als in der klassischen Funktionentheorie - Punkte ohne lokale Uniformisierende besitzen konnen. Solche Punkte wurden fort an singu lare Punkte genannt.

Autorentext
Hans Grauert studierte in Münster und Zürich, wo er 1958 promovierte. Seit dem 1. Oktober 1959 war er bis zu seiner Emeritierung ordentlicher Professor in Göttingen. Er hatte Gastprofessuren u.a. in Princeton und Paris. Er gilt als einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker der Nachkriegszeit. Sein Spezialgebiet ist die Funktionentheorie mehrerer 'Veränderlicher'.

Inhalt
I. Konvergente Potenzreihenalgebren.- § 0. Formale Potenzreihen.- § 1. Analytische k-Banachalgebren.- § 2. Weierstraßsche Formel und Weierstraßscher Vorbereitungssatz für Bt.- § 3. Konvergente Potenzreihen.- § 4. Weierstraßsche Formel und Weierstraßscher Vorbereitungssatz für Kn.- Supplement zu § 4. Der Stickelberger-Siegelsche Beweis des Vorbereitungssatzes.- § 5. Algebraische Struktur des Ringes Kn.- Supplement zu § 5. Noethersche Banachalgebren über ? und ?.- § 6. Die Folgentopologie des Kn.- § 7. Folgentopologien bei lokal-kompaktem Grundkörper.- § 8. Silvatopologie auf Vektorräumen und Algebren.- II. Analytische k-Stellenalgebren.- § 0. Analytische k-Stellenalgebren und analytische Moduln.- § 1. Topologie auf analytischen Stellenalgebren und analytischen Moduln.- § 2. Quasi-endliche und endliche Homomorphismen.- § 3. Einbettungsdimension. Epimorphismen. Umkehrsatz.- § 4. Dimensionstheorie analytischer k-Stellerialgebren. Aktives Lemma.- § 5. Dimension und endliche analytische Homomorphismen.- § 6. Krullsche Dimension. Rein-dimensionale analytische Stellenalgebren.- § 7. Endliche Erweiterungen analytischer Stellenalgebren. Normalisierung.- III. Weiterführende Theorie analytischer k-Stellenalgebren und analytischer Moduln.- § 1. Homologische Codimension (Profondeur).- § 2. Homologische Dimension (Syzygientheorie).- § 3. Invariante analytische k-Unterstellenalgebren.- § 4. Derivations- und Differentialmoduln.- § 5. Analytische Tensorprodukte.- Anhang. Algebraische Hilfsmittel.- § 1. Ringe und Moduln.- 1. Idealpotenzen. Nilpotente Ideale.- 2. Primideale.- 3. Radikale. Reduzierte Ringe. Multiplikative Mengen.- 4. Torsionsmoduln. Quotientenmoduln.- 5. Rang und Corang.- 6. Noethersche Moduln.- 8. Zerlegungssatz von Lasker-Noether.-§ 2. Endliche Moduln über noetherschen Stellenringen.- 2. Lemma von Nakayama.- 3. Krullscher Durchschnittsatz.- 4. Corang.- 5. Jacobirang.- 6. Einbettungsdimension.- 7. Freie Moduln.- § 3. Normale noethersche Integritätsringe.- 1. Ganze Elemente. Dedekindsches Lemma.- 2. Ganzer Abschluß. Normalisierung.- 3. Charakterisierung ganz-abgeschlossener Ringe.- 4. Hauptidealsatz.- 5. Minimale Primideale.- 6. Teilbarkeitstheorie.- § 4. Reduzierte und noethersche Ringe.- 1. Direkte Summen von Ringen.- 2. Epimorphiesatz.- 3. Reduzierte noethersche Ringe.- 4. Charakterisierung von Torsionsmoduln.- Literatur.