Vorlesungen über Funktionentheorie

Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhelms Universitiit Berlin und spater, wenn man von einem einsemestrigeu Kur sus liber Modem Theory of Functions an der Columbia University New York im Herbst 1952 absieht, wiederholt an der Freien Universitiit Berlin gehalten habe. Offen gesagt, hatte ich kaum die Zeit gefunden, diese Vorlesungen flir den Druck bereitzustelien, wenn uicht die Verzweiflung vieler meiner Harer, die manches Vorgetragene in der vorhandenen Literatur schwer finden konuten, mich zu dem EntschluB geflihrt hatte, auf Kosten anderer Arbeiten die Herausgabe dieses Buches zu beschleunigen. Was in diesen Vorlesungen geboten wird, ist nichts anderes als die Grundlage der Cauchy-Riemann-Nevanlinnaschen Funktionentheorie unter Zugrundelegung modemer Gesichtspunkte. Sie flihren den Leser bis an die Grenze eines groBen Teiles modemer Forschung und enthalten das, was meiner Meinung nach den Inhalt eines zwei-bzw. dreisemestri gen Kursus liber Funktionentheorie an einer graBeren deutschen Uni versitat ausmachen soli.

Klappentext

Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor­ lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhelms­ Universitiit Berlin und spater, wenn man von einem einsemestrigeu Kur­ sus liber Modem Theory of Functions an der Columbia University New York im Herbst 1952 absieht, wiederholt an der Freien Universitiit Berlin gehalten habe. Offen gesagt, hatte ich kaum die Zeit gefunden, diese Vorlesungen flir den Druck bereitzustelien, wenn uicht die Verzweiflung vieler meiner Harer, die manches Vorgetragene in der vorhandenen Literatur schwer finden konuten, mich zu dem EntschluB geflihrt hatte, auf Kosten anderer Arbeiten die Herausgabe dieses Buches zu beschleunigen. Was in diesen Vorlesungen geboten wird, ist nichts anderes als die Grundlage der Cauchy-Riemann-Nevanlinnaschen Funktionentheorie unter Zugrundelegung modemer Gesichtspunkte. Sie flihren den Leser bis an die Grenze eines groBen Teiles modemer Forschung und enthalten das, was meiner Meinung nach den Inhalt eines zwei-bzw. dreisemestri­ gen Kursus liber Funktionentheorie an einer graBeren deutschen Uni­ versitat ausmachen soli.

Inhalt
Erster Teil Die Grundlagen der Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Die komplexe Ebene.- 1. Der Körper K der komplexen Zahlen.- 2. Der Körper der reellen Zahlen als Teilkörper von K. Isomorphe Darstellungen.- 3. Elementare Geometrie der komplexen Ebene.- 4. Die Riemannsche Kugel und die Zahl z = ?.- 5. Gruppen. Lineare Transformationen.- 6. Metrisierungsfragen. Bewegungen der komplexen Ebene.- 7. Bemerkungen und historische Zusammenhänge.- Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Die Formel von Moivre..- 2. Gleichungen elementarer Gebilde..- 3. Das Doppelverhältnis von vier Punkten..- 4. Spezielle Gruppen..- 5. Drehungen der Riemannschen Kugel..- 6. Bewegungen des Einheitskreises..- 7. Wurzeloperationen..- Zweites Kapitel Topologie der komplexen Ebene. Die Cauchysche Konvergenztheorie. Stetige Abbildungen.- 8. Grundlegende Begriffsbildungen.- 9. Offene und abgeschlossene Punktmengen.- 10. Die Cauchysche Konvergenztheorie.- 11. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel und der Satz von Bolzano-Weierstrass.- 12. Kurven.- 13. Eine Peano-Kurve.- 14. Gebiete und Kontinuen. Der Begriff des Zusammenhangs.- 15. Abbildungen durch eindeutige komplexe Funktionen.- 16. Linienintegrale komplexer Funktionen.- 17. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Oberer und unterer Limes von Punktmengen..- 2. Anwendungen..- 3. Offener Kern..- 4. Der Kern einer Gebietsfolge..- 5. Topologische Abbildungen..- 6. Vereinigung von offenen und abgeschlossenen Punktmengen..- Drittes Kapitel Lokale Eigenschaften der eindeutigen analytischen Funktionen.- 18. Definition der eindeutigen analytischen Funktion.- 19. Das Fundamentallemma der Funktionentheorie.- 20. Lokale Darstellungen von w (z).- 21. Der analytische Charakter von w? (z). Die Cauchy-Taylor-Entwicklung von w (z).- 22. Hebbare Stellen. Erweiterung des Regularitätsbegriffes.- 23. Pole und wesentliche Singularitäten. Die Entwicklung von Laurent-Weierstrass.- 24. Der Satz von Casorati-Weierstrass.- 25. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- 1. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe..- 2. Moreras Definition der eindeutigen analytischen Funktion..- 3. Eine Definition der regulären analytischen Funktion..- 4. Der Satz von Looman-Menchoff..- 5. Der Satz von Cauchy-Liouville..- 6. Bestimmung einer eindeutigen analytischen Funktion durch abzählbar viele Werte..- 7. Aufgaben dazu..- Viertes Kapitel Die Hauptsätze der Cauchyschen Funktionentheorie.- 26. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie.- 27. Die allgemeine Cauchy-Formel.- 28. Der Residuensatz von Cauchy.- 29. Erste Anwendungen des Residuensatzes. Die Poissonschen Formeln für den Vollkreis und den Halbkreis.- 30. Bestimmte Integrale rationaler und trigonometrischer Funktionen.- 31. Die Cauchyschen Integralsätze in allgemeinen Gebieten von endlichem Zusammenhang.- 32. Nullhomologe und nullhomotope Kurven. Die allgemeine Form des Fundamentalsatzes der Funktionentheorie.- 33. Homologie- und Homotopiegruppen. Mehrdeutige Funktionen.- 34. Literaturhinweise.- Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- 1. Definition der trigonometrischen Funktionen..- 2. Nullstellenfragen..- 3. Residuen von cotg ?z bzw. 1/sin ?z..- 4. Die Formel von Plana-Abel-Cauchy..- 5. Eine allgemeine Formel von Cauchy. Der Satz von Rouché..- 6. Die Ungleichungen von Hadamard und Borel..- 7. Eine Ungleichung von Borel und Carathéodory..- 8. Eine Verallgemeinerung des Cauchy-Liouvilleschen Satzes..- 9. Aufgaben..- 10. Ein Satz von Liouville..- 11. Eine Ungleichung von H. A. Schwarz..- Zweiter Teil Die Grundlagen der Riemann-Weierstraßschen Funktionentheorie.- Fünftes Kapitel Erzeugung analytischer Funktionen durch Grenzprozesse Der Riemann-Weierstraßsche Begriff der analytischen Funktion.- 35. Funktionenräume.- 36. Kompaktheitsfragen. Vorbereitende Tatsachen.- 37. Die Sätze von Ascoli und Vitali.- 38. Reihen. Unendliche Produkte. Integrale.- 39. Der Weierstraß sehe Begriff der analytischen Funktion. Der Satz von Poincaré-Volterra.- 40. Analytische Fortsetzung in der Nähe einer isolierten singulären Stelle. Algebraische Funktionselemente.- 41. Der Begriff des analytischen Gebildes.- 42. Der Begriff der Riemannschen Fläche. Überlagerungsflächen.- 43. Nicht fortsetzbare Reihen. Der Turánsche Beweis des Fabryschen Lückensatzes.- 44. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum fünften Kapitel.- 1. Ein Beweis des Auswahlsatzes..- 2. Der Satz von Mittag-Leffler..- 3. Nochmals die trigonometrischen Funktionen..- 4. Die Weierstraßsche Produktdarstellung von w (z)..- 5. Die elliptischen Funktionen..- 6. Additionsformeln..- 7. Der Monodromiesatz..- 8. Das Weierstraßsche Permanenzprinzip der Funktionalgleichungen..- 9. Algebroide und algebraische Funktionen..- 10. P?lyas Vermutung über Potenzreihen mit Fabry-Lücken..- 11. Ostrowskis Vertiefung des Hadamardschen Lückensatzes..- 12. Mordells Beweis des Hadamardschen Lückensatzes..- 13. Ein Satz von Fatou und P?lya..- 14. Die Umkehrung einer Potenzreihe..- Sechstes Kapitel Die Eulersche Gammafunktion und die Riemannsche Zetafunktion.- 45. Konvexe bzw. logarithmisch konvexe Funktionen.- 46. Der Satz von Bohr und Mollerup.- 47. Funktionalgleichungen.- 48. Das asymptotische Verhalten von ?(s).- 49. Dirichlet-Reihen. Die Zetafunktion von Riemann.- 50. Zahlentheoretische Eigenschaften von ? (s). Die Eulersche Produktdarstellung und der Satz von Hadamard-Dela Vallée-Poussin.- 51. Beweis des Primzahlsatzes.- 52. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- 1. Ein allgemeiner Satz von Hurwitz..- 2. Zwei Funktionalgleichungen von Legendre..- 3. Kumm…