Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff

torischen Gruppenelemente sind und in den en wir geometrische Bezie hungen wie Inzidenz undOrthogonalitat durch gruppentheoretische Rela tionen erklaren. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die wir wahlen, stellen einfache geometrische Aussagen flir die Punkte und Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann man beim Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalktils ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben. Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome notig sind. Die metrischen Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind, sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der Begriff der metrischen Ebene enthalt keine Entscheidung tiber die Parallelenfrage, d.h. tiber die Frage nach dem Schneiden oder Nicht schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent wickeln, enthalt ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo metrie als Spezialfalle, und wird daher, mit einem Ausdruck von J. BOLYAI, auch ebene absolute Geometrie genannt.

Klappentext

torischen Gruppenelemente sind und in den en wir geometrische Bezie­ hungen wie Inzidenz undOrthogonalitat durch gruppentheoretische Rela­ tionen erklaren. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die wir wahlen, stellen einfache geometrische Aussagen flir die Punkte und Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann man beim Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalktils ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben. Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome notig sind. Die metrischen Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind, sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der Begriff der metrischen Ebene enthalt keine Entscheidung tiber die Parallelenfrage, d.h. tiber die Frage nach dem Schneiden oder Nicht­ schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent­ wickeln, enthalt ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo­ metrie als Spezialfalle, und wird daher, mit einem Ausdruck von J. BOLYAI, auch ebene absolute Geometrie genannt.

Inhalt
I. Einführung.- § 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene.- §2. Der Begriff der metrischen Ebene.- II. Metrische (absolute) Geometrie.- § 3. Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie.- § 4. Sätze der metrischen Geometrie.- § 5. Projektive und projektiv-metrische Ebenen.- § 6. Begründung der metrischen Geometrie.- Note über freie Beweglichkeit.- § 7. Über das Transitivitätsgesetz für beliebige involutorische Elemente.- Note über die Algebraisierung der affinen und projektiven Ebenen.- III. Projektiv-metrische Geometrie.- § 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.- § 9. Orthogonale Gruppen.- §10. Darstellung metrischer Vektorräume und ihrer orthogonalen Gruppen mit Hilfe hyperkomplexer Systeme.- §11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen (H-Gruppen).- IV. Euklidische Geometrie.- §12. Der Satz von Paapus -Pascal in der euklidischen Geometrie.- §13. Algebraische Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen.- V. Hyperbolische Geometrie.- §14. Hyperbolische Bewegungsgruppen.- §15. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen durch binäre lineare Gruppen.- VI. Elliptische Geometrie.- §16. Begründung der elliptischen Geometrie.- §17. Der Gruppenraum einer elliptischen Bewegungsgruppe.- §18. Über die metrischen Bewegungsgruppen.- 1. Über verschiedene Erzeugendensysteme derselben Gruppe S. 275..- 2. Die projektiv-metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 3. Die vollständigen metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 4. Metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 278..- 5. Zugehörige metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 279..- 6. Beispiele S. 280..- §19. Metrisch-euklidische Ebenen.- 1. Geometrische Kennzeichnungmetrisch-euklidischer Teilebenen S. 286..- 2. Algebraische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen S. 288..- 3. Metrisch-euklidische Teilebenen mit freier Beweglichkeit S. 293..- 4. Metrisch-euklidische Unter-Bewegungsgruppen S. 295..- Literatur.- Zusammenstellung besonderer Zeichen.- Axiomentafel.- Anmerkungen.- 1. Axiomensystem der metrischen Ebenen S. 305..- 2. Höhensatz S. 305..- 3. Gegenpaarungssatz S. 306..- 4. Rechtseitsatz S. 306..- 5. Zur Definition der Idealgeraden und der absoluten Polarität in der Idealebene S. 307..- 7. Elliptische Geometrie S. 310..- 8. Zum Begriff,,total ganzzahlig-einschließbar S. 310..- Supplement.- § 20. Ergänzungen und Hinweise auf die Literatur.- 1. Involutorisch erzeugte Gruppen S. 313..- 2. Geometrie involutorischer Gruppenelemente S. 314..- 3. Axiomensystem der ebenen absoluten Geometrie S. 318..- 4. Kleine Axiome, Axiomensystem des Senkrechtstehens, Hjelmslev-Gruppen S. 318..- 5. Nicht-elliptische Hjelmslev-Gruppen S. 323..- 6. Minkowskische Gruppen S. 328..- 8. Orthogonale und projektiv-orthogonale Gruppen S. 333..- 10. Eigentlichkeitsbereiche und vollständige Spiegelungsgruppen metrischer Vektorräume S. 338..- 11. Gruppentheoretische Kennzeichnung orthogonaler Gruppen S. 340..- 12. Kinematische Räume S. 342..- 13. Hilbert-Ebenen S. 345..- 14. Modelle der absoluten Geometrie S. 349..- 15. Der Satz von der dritten Quasispiegelung S. 354..- Neuere Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.