Bücher über Vektoranalysis beginnen üblicherweise mit der Definition eines Vektors als Äquivalenzklasse gerichteter Strecken - oder weniger genau, als Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Diese Einführung ist wegen ihres einfach erscheinenden Konzeptes einprägsam, aber sie führt zu logischen Schwierigkeiten, die nur durch sorgfältiges Vorgehen gelöst werden können. Folgerichtig haben Studenten oft Probleme, die Anfänge der Vektoranalysis vollständig zu verstehen und verlieren schnell an Vertrauen. Eine andere Unzulänglichkeit ist es, daß bei der weiteren Entwicklung häufig auf die geometrische Anschauung zurückgegriffen wird und viel Sorgfalt nötig ist, um analytische Zusammenhänge nicht zu verwischen oder zu übersehen. So wird z. B. selten klar, daß bei der Definition des Gradienten eines Skalarfeldes, der Divergenz oder der Rotation eines Vektorfeldes vorausgesetzt werden muß, daß die Felder stetig differenzierbar sind und daß die bloße Existenz der partiellen Ableitungen erster Ordnung unzureichend ist. Der Einstieg in die Vektoranalysis, der in diesem Band gewählt wurde, basiert auf der Definition eines Vektors mit Hilfe rechtwinkliger kartesischer Komponenten, die bei einer Änderung der Achsen vorgegebene Transformationsgesetze erfüllen. Dieser Einstieg wurde seit 10 Jahren erfolgreich in Anfängervorlesungen für Mathematiker und andere Naturwissenschaftler benutzt und bietet einige Vorteile. Regeln zur Addition und Subtraktion von Vektoren, zur Berechnung des Skalar- und Vektor produktes und zum Differenzieren sind schnell greifbar und die Möglichkeit, Vektoren so einfach zu handhaben, gibt den Studenten unmittelbares Zutrauen. Der spätere Einstieg in die Theorie der Vektorfelder erscheint natürlich, daGradient, Divergenz und Rotation in ihrer Koordinatenform definiert sind.

Inhalt

1. Rechtwinklige kartesische Koordinaten und Drehung der Achsen.- 1.1. Rechtwinklige kartesische Koordinaten.- 1.2. Richtungskosinus und Richtungsparameter.- 1.3. Der Winkel zwischen Geraden durch den Ursprung.- 1.4. Rechtwinklige Projektion einer Geraden auf eine andere.- 1.5. Drehung der Achsen.- 1.6. Die Summenkonvention und ihr Gebrauch.- 1.7. Invarianz bei Drehungen.- 1.8. Matrizenschreibweise.- 2. Skalar- und Vektoralgebra.- 2.1. Skalare.- 2.2. Vektoren, allgemeines.- 2.3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 2.4. Addition und Subtraktion von Vektoren.- 2.5. Die Einheitsvektoren i, j, k.- 2.6. Das Skalarprodukt.- 2.7. Das Vektorprodukt.- 2.8. Das Spatprodukt.- 2.9. Das doppelte Vektorprodukt.- 2.10. Das Produkt aus vier Vektoren.- 2.11. Gebundene Vektoren.- 3. Vektorfunktionen einer reellen Variablen. Differentialgeometrie von Kurven.- 3.1. Vektorfunktionen und ihre geometrische Bedeutung.- 3.2. Differenzieren eines Vektors.- 3.3. Differentiationsregeln.- 3.4. Tangenten an eine Kurve. Glatte, stückweise glatte und einfache Kurven.- 3.5. Die Bogenlänge.- 3.6. Krümmung und Torsion.- 3.7. Anwendungen in der Kinematik.- 4. Skalar- und Vektorfelder.- 4.1. Bereiche.- 4.2. Funktionen mehrerer Variabler.- 4.3. Definition von Skalar- und Vektorfeldern.- 4.4. Der Gradient eines Skalarfeldes.- 4.5. Eigenschaften des Gradienten.- 4.6. Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes.- 4.7. Der Nabla-Operator.- 4.8. Skalar-invariante Operatoren.- 4.9. Nützliche Gleichungen.- 4.10. Zylinderkoordinaten und sphärische Polarkoordinaten.- 4.11. Allgemeine krummlinige orthogonale Koordinaten.- 4.12. Vektorkomponenten in krummlinigen orthogonalen Koordinaten.- 4.13. grad ?, div F, rot F und ?2 in krummlinigen orthogonalen Koordinaten.- 4.14. Vektoranalysis imn-dimensionalen Raum.- 5. Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegrale.- 5.1. Das Kurvenintegral über ein Skalarfeld.- 5.2. Das Kurvenintegral über ein Vektorfeld.- 5.3. Mehrfachintegrale.- 5.4. Doppel- und Dreifachintegrale.- 5.5. Flächen.- 5.6. Das Oberflächenintegral.- 5.7. Das Volumenintegral.- 6. Integralsätze.- 6.1. Einführung.- 6.2. Der Gaußsche Satz.- 6.3. Die Greenschen Formeln.- 6.4. Der Stokessche Satz.- 6.5. Grenzwertdefinition von div F und rot F.- 6.6. Geometrische und physikalische Bedeutung von Divergenz und Rotation.- 7. Anwendungen auf Potentiale.- 7.1. Zusammenhängende Bereiche.- 7.2. Das Skalarpotential.- 7.3. Das Vektorpotential.- 7.4. Die Poisson-Gleichung.- 7.5. Die Poisson-Gleichung in Vektorform.- 7.6. Der Helmholtzsche Satz.- 7.7. Raumwinkel.- 8. Kartesische Tensoren.- 8.1. Einführung.- 8.2. Kartesische Tensoren: algebraische Grundlagen.- 8.3. Invariante Tensoren.- 8.4. Tensorfelder.- 8.5. Der Gaußsche Satz für Tensorfelder.- 9. Sätze über die Darstellung invarianter Tensoren.- 9.1. Einführung.- 9.2. Diagonalisierung symmetrischer Tensoren zweiter Stufe.- 9.3. Konstanten invarianter Tensoren zweiter Stufe.- 9.4. Darstellung invarianter Vektorfunktionen.- 9.5. Invariante Skalarfunktionen von symmetrischen Tensoren zweiter Stufe.- 9.6. Darstellung invarianter Tensorfunktionen.- Anhang 1. Determinanten.- 2. Die Kettenregel für Jacobideterminanten.- 4. Lösungen zu den Übungsaufgaben.- 5. Weitere Übungsaufgaben und Lösungen.