Approximationstheorie

In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.

Inhalt
I. Auftreten von Approximationsaufgaben.- 1. Eingabe von Funktionen auf Rechenanlagen.- 2. Diskrete Approximation und Ausgleichsrechnung.- 3. Einteilung der Approximationsaufgaben nach der verwendeten Funktionenmannigfaltigkeit.- 4. Approximationsaufgaben bei Differentialgleichungen.- 5. Einseitige Tschebyscheff-Approximation bei Randwertaufgaben.- 6. Kombinations-Approximationen (kurz Kombi-Approximationen).- 7. Weitere Beispiele von Randwertaufgaben.- 8. Andere Gebiete der Analysis.- 9. Lp-Approximation und weitere Approximationsaufgaben.- II. Nichtlineare Tschebyscheff-Approximation: Allgemeine Theorie.- 1. Problemstellung.- 2. Untere Schranken für die Minimalabweichung und eine hinreichende Bedingung für Minimallösungen.- 3. Existenz von Minimallösungen.- 4. Notwendige Bedingungen für Minimallösungen.- 5. Charakterisierung von Minimallösungen.- 6. Eindeutigkeit.- 7. Approximation auf einem reellen Intervall.- 8. Stetigkeit des T-Operators.- III. H-Mengen.- 1. H-Mengen, H1-Mengen, H2-Mengen.- 2. Lineare Approximation.- 3. Beispiele von H-Mengen.- 4. Trigonometrische Tschebyscheff-Approximation in zwei Variablen.- 5. Segment-Approximation (Spline-Approximation) mit Polynomen.- 6. Segment-Approximation mit rationalen Funktionen.- 7. H2-Mengen und Monotonie.- 8. Anwendung auf Differentialgleichungen.- IV. Allgemeine rationale und lineare Approximation.- 1. Das Existenzproblem bei reeller rationaler Approximation.- 2. Berechnung der Minimalabweichung und Charakterisierung von Minimallösungen.- 3. Diskrete rationale Approximation.- 4. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten rationalen Approximationsproblems.- 5. Ein Verfahren zur Lösung des diskreten linearen Approximationsproblems.- V. Nichtlineare Exponentialapproximation.- 1. Existenz von Minimallösungen.- 2.Zur Charakterisierung und Eindeutigkeit von Minimallösungen.- VI. Weitere Fragestellungen.- 1. Die Sätze von Stone und Weierstraß.- 2. Rationale Approximation und Eigenwertaufgaben.- VII. Anhang.- 1. Metrische und normierte Räume.- 2. Einige Eigenschaften konvexer Mengen in linearen Vektorräumen.- 3. Vergleich zwischen L2- und T-Approximation.- 4. Einige weitere Beispiele für T-Systeme.- 5. Aufgaben mit Lösungen.- 6. Weitere Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.