Analysis 1

In kurzer und prägnanter Form wird die Analysis der Grundvorlesung vorgestellt. Im Gegensatz zu den Analysisbänden von Blatter und Forster finden sich hier viele historische Anmerkungen. Außerdem wird viel Wert auf sachbezogene Motivation gelegt. Zusammen mit dem zweiten Band: Analysis 2 eignet sich dieses Werk hervorragend zur Prüfungsvorbereitung nicht nur für Mathematikstudenten, sondern gerade auch für Informatik-, Physik- und Technikstudenten.

Aus den Besprechungen:
"In einer sehr prägnanten und mathematisch exakten Darstellung wird der Analysisstoff der Anfangssemester knapp und präzise dargeboten... Im Vergleich zu anderen Darstellungen des Stoffes enthält das Buch einige mathematische Kostbarkeiten."
Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik

"Die Darstellung ist zum Teil relativ knapp, jedoch gut verständlich, eine angemessene Zahl von Übungsaufgaben ... sowie interessante historische Bemerkungen ergänzen das Werk."
Internationale Mathematische Nachrichten

Klappentext

Band 1 umfaßt knapp und präzise die Analysis der Grundvorlesung, Band 2 behandelt die Differential- und Integralrechnung im Rn. Sachbezogene Motivationen, zahlreiche Beispiele und Aufgaben, historische Anmerkungen sowie mehr als 100 Abbildungen zeichnen jeden Band aus.

Inhalt
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 1.1 Vollständige Induktion.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten.- 1.3 Aufgaben.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$.- 2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$.- 2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$.- 2.4 R ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in.- 3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Folgen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$.- 5.7 Uneigentliche Konvergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Summierbare Familien.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.9 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. AllgemeinePotenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 8.7 Nullstellen und Periodizität.- 8.8 Die Arcus-Funktionen.- 8.9 Polarkoordinaten.- 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens.- 8.11 Die Zahl ?.- 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.- 8.13 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.4 Beispiele und Anwendungen.- 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.6 Ableitungen höherer Ordnung.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.- 9.10 Begriff der Stammfunktion.- 9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion.- 9.12 Aufgaben.- 10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 10.1 Einführende Feststellungen.- 10.2 Der Eindeutigkeitssatz.- 10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten.- 10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes.- 10.7 Aufgaben.- 11 Integralrechnung.- 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 11.2 Regelfunktionen.- 11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle.- 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen.- 11.5 Erste Anwendungen.- 11.6 Integration elementarer Funktionen.- 11.7 Integration normal konvergenter Reihen.- 11.8 Riemannsche Summen.- 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale.- 11.10 Die Eulersche Summationsformel.-11.11 Aufgaben.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 12.1 Parametrisierte Kurven.- 12.2 Die Bogenlänge.- 12.3 Parameterwechsel.- 12.4 Krümmung ebener Kurven.- 12.5 Die Sektorfläche.- 12.6 Windungszahlen.- 12.7 Kurven in Polarkoordinaten.- 12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze.- 12.9 Aufgaben.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen...- 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$.- 13.4 Aufgaben.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 14.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.- 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe..- Die Bernoulli-Polynome.- 14.4 Das Newton-Verfahren.- 14.5 Aufgaben.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 15.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 15.2 Vertauschungssätze.- 15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- 15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n).- 15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz.- 15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 15.7 Aufgaben.- 16 Die Gammafunktion.- 16.1 Die Gammafunktion nach Gauß.- 16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 16.3 Die Stirlingsche Formel.- 16.4 Aufgaben.- 17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen.- 17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz.- 17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens.- 17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 17.6 Anwendung: Fourierreihenstückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 17.10 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Euler.- Literaturhinweise.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.