Die Darstellungstheorie der Gruppen ist eines der reizvollsten Beispiele für die Wechselwirkung zwischen Physik und reiner Mathe matik. Wenige Jahre vor der Jahrhundertwende führte der Algebraiker G. FROBENIUS die Gruppencharaktere und den Begriff der Darstellungen ein; ein Jahrzehnt lang enthielt nun fast jeder Band der Berliner Sitzungs berichte eine oder mehrere der schönen Arbeiten von FROBENIUS und I. SCHUR über diesen Gegenstand. Unterdessen hatte mit dem neuen Jahrhundert in demselben Berlin die Quantentheorie das Licht der Welt erblickt - aber niemand ahnte, daß ein Vierteljahrhundert später beide Theorien in so innige Wechselwirkung treten würden. Das geschah in Göttingen, nachdem dort in enger räumlicher und geistiger Nachbarschaft zu dem Algebraikerkreis um EMMY NOETHER die BORN-HEISENBERGSche Quantenmechanik entstanden war. Der besondere, ich möchte sagen ästhetische Reiz dieses Zusammenwirkens besteht darin, daß es die den Gegenständen der Atommechanik inne wohnenden Symmetrien sind, die es ermöglichen, mit Hilfe der FRO BENIUsschen Begriffe vielen Geheimnissen der Atome so überraschend einfach, sozusagen ohne Rechnung, auf die Spur zu kommen.

Inhalt
I. Kapitel. Matrizen.- § 1. Vektoren.- § 2. Lineare Abbildungen. Matrizen.- § 3. Begriff einer Algebra.- § 4. Quadratische und hermitesche Formen, orthogonale und unitäre Matrizen.- § 5. Eigenwerte und Transformation auf Diagonalgestalt.- § 6. Zwei weitere Verknüpfungen für Matrizen ; das Kronecker-Produkt.- § 7. Äquivalenz und Reduzibilität von Matrixsystemen. Das Lemma von Schur.- § 8. Vertauschbarkeit von Matrixsystemen.- § 9. Beispiele irreduzibler Systeme. Eine Anwendung des ScHuRschen Lemmas.- II. Kapitel. Gruppen.- § 1. Elementare Gruppentheorie.- § 2. Die symmetrische und die alternierende Gruppe.- § 3. Kontinuierliche Gruppen.- § 4. Die Matrix-Exponentialfunktion.- § 5. Der Infinitesimalring einer linearen Gruppe.- § 6. Integration in LiEschen Gruppen.- III. Kapitel. Allgemeine Darstellungstheorie.- § 1. Begriff der Darstellung. Die vollständige Reduzibilität der Darstellungen endlicher Gruppen. Eindeutigkeit der Zerlegung.- § 2. Der Gruppenring und die reguläre Darstellung.- § 3. Struktur des Gruppenrings. Vorbereitende Sätze.- § 4. Die Struktur des Gruppenrings und das System der Klassen irreduzibler Darstellungen.- § 5. Zur Darstellungstheorie der halbeinfachen Algebren.- § 6. Normale Darstellungen.- § 7. Die Charaktere.- § 8. a) Charaktere und Gruppenring.- § 9. Die infinitesimalen Transformationen der Darstellungen kontinuierlicher Gruppen.- § 10. Die adjungierte Darstellung.- § 11. Die Charaktere der kontinuierlichen Gruppen.- § 12. Gruppen mit Normalteiler vom Index 2.- IV. Kapitel. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppen.- § 1. Die Tableaux.- § 2. Hilfssätze über die Tableaux.- § 3. Die irreduziblen Darstellungen.- § 4. Die Standard-Tableaux. Volle Reduktion des Gruppenrings.- § 5. Berechnung der Matrizeneiner irreduziblen Darstellung.- § 6. Beweis der Sätze 4.2 und 4.3.- V. Kapitel. Die Darstellungen der vollen linearen, unimodularen und unitären Gruppen.- § 1. Vorbemerkungen.- § 2. Das Kronecker-Quadrat und die symmetrischen und schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe.- § 3. Der Raum der Tensoren v-ter Stufe und die Darstellungen der Gruppe 𝕲n vom Polynomgrad v.- § 4. Die Symmetrieklassen im Tensorraum.- § 5. Die Tableaux und die ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe.- § 6. Der Verzweigungssatz.- § 7. Ganzrationale Darstellungen der reellen linearen, unimodularen und unitären Gruppen.- § 8. Rationale und semirationale Darstellungen.- § 9. Die unzerfällbaren Darstellungen der additiven Gruppe der reellen Zahlen.- § 10. Die stetigen Darstellungen der vollen und reellen linearen, der unimodularen und unitären Gruppen.- VI. Kapitel. Charaktere der linearen und der Permutationsgruppen. Die alternierende Gruppe.- § 1. Die Charakteristiken und die Darstellungsgrade der ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe.- § 2. Zusammenhang zwischen den Charakteren der symmetrischen Gruppe und den Charakteristiken der vollen linearen Gruppe.- § 3. Zur Berechnung der Charaktere der symmetrischen Gruppe. Übersicht über die Darstellungen der alternierenden Gruppe.- § 4. Noch eine Formel zur Berechnung der Charaktere von 𝕾v.- § 5. Analyse von Kronecker-Produkten bei der symmetrischen und bei der vollen linearen Gruppe.- § 6. Die Charaktere der alternierenden Gruppe.- VII. Kapitel. Charaktere und eindeutige Darstellungen der Drehgruppe.- § 1. Zusammenhangsverhältnisse der Drehgruppe.- § 2. Das Toroid 𝕿p.- § 3. Das Stiefelsche Diagramm.- § 4. Die Gruppe ?.- § 5. Die Fundamentalbereiche der Gruppe ?.-§ 6. Die Eigenwerte der Darstellungen.- § 7. Die Eigenwerte der adjungierten Darstellung.- § 8. Das Integral über eine Klassenfunktion.- § 9. Invariante und alternierende Polynome und Elementarsummen.- § 10. Das System der einfachen Charaktere.- § 11. Der Darstellungsgrad.- § 12. Der Verzweigungssatz.- § 13. Anwendung auf die niedersten Dimensionszahlen.- § 14. Die Fundamentaldarstellungen.- § 15. Die volle orthogonale Gruppe.- VIII. Kapitel. Spindarstellungen, Infinitesimalring, gewöhnliche Drehgruppe.- § 1. Der Infinitesimalring der Drehgruppe.- § 2. Cliffords Algebra und ihr Zusammenhang mit den infinitesimalen Drehungen.- § 3. Darstellungstheorie der Cliffordschen Algebra.- §4. Die Spindarstellungen des Infinitesimalrings der Drehgruppe.- §5. Die Spindarstellungen der Drehgruppe.- §6. Die gewöhnliche Drehgruppe 𝖉3.- §7. Die Formel von Clebsch-Gordan.- §8. Struktur des Infinitesimalrings und Gewichte der Darstellungen.- §9. Weitere Kroxecker-Produkte. Algebra von Kemmer und de Broglie.- IX. Kapitel. Die Lorentz-Gruppe.- § 1. Die vier Stücke der Lorentz-Gruppe.- § 2. Die Fundamentaldarstellungen der Lorentz-Gruppet 𝕷n, t.- § 3. Die gewöhnliche eigentliche Lorentz-Gruppe l4,1 und ihr Zusammenhang mit der unimodularen Gruppe 𝔤2.- § 4. Die Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe 𝔤4,1.- Namen- und Sachverzeichnis.