Die vorliegende Darstellung der klassischen Funktionentheorie ist aus Nachschriften, die wir seit geraumer Zeit von unseren Vorlesungen anfertigen ließen, entstanden. Hieraus ergibt sich schon, an welche Leser wir zunächst gedacht hatten. Es sind die Studenten, die, mit welchem Ziel auch immer, sich einer mehrsemestrigen Ausbildung in der Funktionentheorie unterziehen wollen. Dabei darf dann voraus gesetzt werden, daß ihnen die Infinitesimalrechnung in der strengen Form vertraut geworden ist, in der sie heute für den Anfänger an den europäischen Universitäten gelehrt zu werden pflegt. Die zahlreichen Beispiele in den einleitenden Kapiteln sind vor allem mit Rücksicht auf die Studenten eingefügt worden. Nun wurde aber unser Manuskript immer umfangreicher. Wir ver folgten nämlich die Absicht, die Grundlagen der Funktionentheorie auf RIEMANNschen Flächen vollständig zu bringen. Das bedeutete, daß wir die Theorie auf den kompakten RIEMANNschen Flächen bis einschließlich der Abelschen Integrale zu behandeln hatten. Die Theorie auf den nicht kompakten Flächen war entsprechend bis einschließlich der Verallgemei nerung des RUNGEschen Satzes (des allgemeinen Approximationssatzes) aufzubauen. So mußten wir in wachsendem Maße auch an den Leser denkel). , der nach einer abgeschlossenen mathematischen Ausbildung das Buch zur Hand nimmt, um es wegen einer speziellen Frage zu kon sultieren, und sich nicht der Mühe unterziehen kann, es von Anfang an zu lesen. An der Brauchbarkeit des Buches für den Fachmann im wei teren Sinne bei seiner täglichen Arbeit war uns besonders gelegen. Deshalb haben wir die Rückgriffe auf den vorher behandelten Stoff möglichst so beschrieben, daß ein fachlich vorgebildeter Leser (z. B.

Inhalt
Erstes Kapitel. Analysis der komplexen Zahlen.- § 1. Die komplexen Zahlen.- § 2. Der unendlich ferne Punkt und der chordale Abstand.- § 3. Punktmengen.- § 4. Punktfolgen.- § 5. Kurven und Gebiete.- § 6. Stetige Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- § 7. Differentiation komplexer Funktionen.- § 8. Kurvenintegrale.- § 9. Folgen von Funktionen.- § 10. Unendliche Reihen.- § 11. Vertauschung von Grenzprozessen.- Zweites Kapitel. Die Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.- § 1. Der Begriff der Holomorphie.- § 2. Der Cauchysche Integralsatz.- § 3. Der Satz von Riemann. Die Cauchyschen Integralformeln.- § 4. Unendliche Reihen holomorpher Funktionen.- § 5. Ergänzung reeller Funktionen zu holomorphen Funktionen.- § 6. Ganze Funktionen.- § 7. Normale Familien holomorpher Funktionen.- Anhang. Harmonische Funktionen.- Drittes Kapitel. Die analytischen Funktionen, ihre singulären Stellen und ihre Entwicklungen.- § 1. Analytische Fortsetzung.- § 2. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.- § 3. Singuläre Punkte. Die Laurentsche Entwicklung. Meromorphe Funktionen.- § 4. Das Residuum.- § 5. Anwendungen des Residuenkalküls.- § 6. Normale Familien meromorpher Funktionen.- § 7. Partialbruchentwicklung meromorpher Funktionen.- § 8. Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen. Holomorphiegebiete.- § 9. Die Quotientendarstellung meromorpher Funktionen und der Mittag-Lefflersche Anschmiegungssatz.- § 10. Entwicklungen nach Polynomen und rationalen Funktionen.- § 11. Fourierentwicklungen.- § 12. Entwicklungen nach Orthogonalfunktionen.- § 13. Quadratintegrierbare Funktionen als Hilbertscher Raum.- § 14. Asymptotische Entwicklungen.- Viertes Kapitel. Konforme Abbildungen.- § 1. Die Umkehrfunktionen.- § 2. Analytische Funktionen und konformeAbbildung.- § 3. Die linearen Transformationen.- § 4. Transformationsgruppen.- § 5. Das Schwarzsche Lemma und die invarianten Metriken der linearen Transformationsgruppen.- § 6. Innere Abbildungen mit Fixpunkten.- § 7. Der Riemannsche Abbildungssatz.- § 8. Das Verhalten der Abbildungsfunktionen am Rande.- § 9. Spiegelungen und analytische Fortsetzung.- § 10. Die Familie der schlichten Funktionen. Verzerrungssätze.- Fünftes Kapitel. Der Gesamtverlauf der analytischen Funktionen und ihre Riemannschen Flächen.- § 1. Beispiele mehrblättriger Riemannscher Flächen.- § 2. Allgemeine Einführung der Riemannschen Fläche.- § 3. Analysis auf Riemannschen Flächen.- § 4. Die algebraischen Funktionen.- § 5. Uniformisierungstheorie. Die universelle Überlagerungsfläche.- § 6. Uniformisierungstheorie. Die Typen der Überlagerungsflächen.- Anhang. Zur Topologie der algebraischen Riemannschen Flächen.- Sechstes Kapitel. Funktionen auf Riemannschen Flächen.- § 1. Eigentlich diskontinuierliche Gruppen linearer Transformationen.- § 2. Die Konstruktion automorpher Funktionen. Poincarésche Thetareihen. Elliptische Funktionen.- § 3. Differentiale, Integrale und Divisoren auf Riemannschen Flächen.- § 4. Der Satz von Riemann-Roch. Abelsche Differentiale.- § 5. Integrale und Funktionen auf kompakten Riemannschen Flächen.- § 6. Funktionen auf nicht kompakten Riemannschen Flächen.- § 7. Schleifenintegrale und transzendente Funktionen.- Namen- und Sachverzeichnis.