Differentialgeometrie

um das zur Lösung konkreter geometrischer Einzelfragen nötige Rüstzeug zu ver mitteln, ist auch stets die koordinatenmäßige Behandlung berücksichtigt. Verzichtet wurde auf den Differentialformenkalkül, doch wird der Leser keine Schwierigkeiten haben, sich diese für die moderne Differentialgeometrie wichtige Methode auf der Grundlage des Buches selbst anzueignen. In einer Einführung sollten nach meiner Ansicht nicht verschiedene methodische Ansätze verwendet werden. Der gebotene Stoff geht in Umfang und Inhalt über eine etwa vierstündige Vor lesung hinaus und gestattet den Anschluß eines weiterführenden Seminars. Die sorg fältig angebrachten zahlreichen Rückverweisungen ermöglichen es, verschiedenartige Lehrgänge aus dem Inhalt zusammen zu stellen. Freunde konkreter Geometrie wer den die Diskussionen im Anschluß an den induzierten Zusammenhang in KapitelS überschlagen, die Krümmungstheorien in Kapitel 6 nur für Hyperflächen behandeln und sich vor allem den 2-Flächen in Kapitel 7 zuwenden. Das andere Extrem ist die Auswahl eines Lehrgangs über differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Geometrie; dabei kann man mit Kapitel 8 beginnen und die Rückverweisungen dazu verwenden, Beispiele für die eingeführten Begriffe bereitzustellen. Die Abschnitte 3. 3,4. 3,5. 5 und 6. 5 und das Kapitel 7 müssen nicht studiert werden, um jeweils nach folgende Abschnitte verstehen zu können, der Abschnitt 3. 5 wird erst in 8. 8 benötigt. Der Abschnitt 8. 8 ist unter Verwendung einzelner Rückverweisungen auch ohne die vorhergehenden Abschnitte des Kapitels 8 lesbar. Jedem Kapitel ist eine kurze Inhaltsübersicht vorangestellt, und jeder Abschnitt schließt mit einer Sammlung von Aufgaben zur Einübung des behandelten Stoffes.

Inhalt

1. Lineare Geometrie.- 1.1 Reelle Yektorräume.- 1.2 Tensorräume.- 1.3 Euklidische Vektorräume.- 1.4 Affine Räume.- 2. Analysis.- 2.1 Topologische Räume.- 2.2 Differenzierbare Abbildungen.- 2.3 Immersionen, Einbettungen, Diffeomorphismen.- 2.4 Differenzierbare Vektorfelder.- 2.5 Integrale, Differentialgleichungen.- 3. Differentialgeometrie der Kurven in ?n.- 3.1 Kurvenbegriff.- 3.2 Ableitungsvektoren, Bogenlänge.- 3.3 Berührung von Kurven.- 3.4 Ableitungsgleichungen und Hauptsatz.- 3.5 Globale Probleme für Kurven in ?2.- 4. Flächen in ?n.- 4.1 Flächenbegriff.- 4.2 Tangentialvektorraum einer Fläche.- 4.3 Berührung von Flächen.- 4.4 Blätter in ?n.- 4.5 Parameterwechsel.- 5. Geometrie auf Flächen in ?n.- 5.1 Das metrische Tensorfeld.- 5.2 Kovariante Ableitung längs eines Flächenweges.- 5.3 Der induzierte Zusammenhang.- 5.4 Der Krümmungsoperator des induzierten Zusammenhangs.- 5.5 Abbildungen aus einem m-Blatt in ein m-Blatt.- 6. Krümmungstheorie der Flächen in ?n.- 6.1 Der Gauß-Operator.- 6.2 Die Weingarten-Abbildung.- 6.3 Der Krümmungstensor und der Codazzi-Operator.- 6.4 Krümmungstheorie der Hyperflächen.- 6.5 Hauptsatz und Integrabilitätsbedingungen der Hyperflächentheorie.- 7. 2-Flächen in ?3.- 7.1 Kurven auf 2-Flächen.- 7.2 Regelflächen in ?3.- 7.3 2-Flächen in ?3 mit konstanter Gaußscher Krümmung.- 7.4 Minimalflächen.- 8. Riemannsche Räume.- 8.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 8.2 Zerlegung der Eins auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.3 Der Tangentialvektorraum.- 8.4 Zusammenhänge auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.5 Metrische Tensorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 8.6 Das Krümmungstensorfeld eines Riemannschen Raumes.- 8.7 Die Exponentialabbildung, die innere Metrik Riemannscher Räume.- 8.8 Die Integralformel von Gauß-Bonnet und globale Probleme für Riemannsche 2-Räume.- Literatur.