Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein relativ junges Teilgebiet der Mathematik, das eigentlich erst in den letzten Jahrzehnten durch die Verwendung maBtheoretischer Begriffsbildungen eine befriedigende For mulierung gefunden hat. So darf man den Beginn der modernen Wahr scheinlichkeitsrechnung wohl urn die Zeit des 1933 erschienenen Heftes "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" von A. KOLMOGOROFF in der Reihe "Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete" an setzen. Seitdemhat man nicht nur gelernt, die verschiedenen klassischen Ergebnisse von einem einheitlichen Gesichtspunkt aus zu verstehen; sondern viele Probleme konnten uberhaupt erst durch die Verwendung der maBtheoretischen Hilfsmittel in der erforderlichen Allgemeinheit formuliert und behandelt werden. Ich denke hier vor allem an die Theorie der stochastischen Prozesse, an die Spieltheorie und an die Theorie der statistischen Entscheidungsverfahren. Die im deutsch sprachigen Schrifttum vorliegenden Lehrbucher der Wahrscheinlich keitsrechnung sind, abgesehen von einigen kleineren Einfiihrungen in die klassische Theorie, vor dem Beginn der neuen Entwicklung verfaBt worden. Sie k6nnen daher den heutigen Anspruchen nicht mehr ge nugen. Den Studenten und auch den Dozenten ist es damit sehr schwer gemacht, den Vorsprung wieder einzuholen, den die auslandische Wissen schaft in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in ihren Anwendungs gebieten gerade in den entscheidenden Jahren nach 1933 gewonnen hat. Hier liegt also eine Lucke vor, die ich versuchen will, durch dieses Lehr buch etwas auszufullen. Ohne die klassische Theorie zu sehr zu ver nachlassigen, m6chte ich den Leser soweit in die heutige Wahrschein lichkeitstheorie einfuhren, daB er in der Lage ist, auch schwierigereUntersuchungen zu studieren.

Inhalt
I. Maßtheoretische Grundlagen.- § 1. Die Mengenalgebra.- § 2. Mengenkörper.- § 3. Punkt- und Mengenfunktionen.- § 4. Konstruktion eines Maßes aus einem Inhalt.- § 5. Intervallmaße im Rn.- II. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff.- § 1. Die intuitive Wahrscheinlichkeit.- § 2. Die naturwissenschaftliche Wahrscheinlichkeit.- § 3. Die Häufigkeitsinterpretation und die Normierungsforderung.- § 4. Der mathematische Wahrscheinlichkeitsbegriff.- III. Die Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie.- § 1. Die Grundbegriffe.- § 2. Die Grundtheoreme im Fall der Laplace-Experimente.- § 3. Die allgemeine Gültigkeit der Grundtheoreme.- § 4. Einige einfache Folgerungen aus den beiden Grundtheoremen.- § 5. Behandlung einiger Aufgaben.- § 6. Relaisexperimente und Bayessches Theorem.- § 7. Zufällige Größen.- § 8. Der Übergang zur abstrakten Wahrscheinlichkeitstheorie.- IV. Elemente der Integrationstheorie.- § 1. ?-meßbare Funktionen.- § 2. ?-integrable Funktionen.- § 3. Quadratintegrierbarkeit.- § 4. Maßprodukte.- V. Zufällige Größen auf allgemeinen Wahrscheinlichkeitsfeldern.- § 1. Idealisierte Experimente und Vergröberungen.- § 2. Wahrscheinlichkeitsdichten.- § 3. Unabhängige zufällige Größen.- § 4. Erwartungswerte, Momente, Varianzen.- § 5. Bedingte Erwartungswerte und Verteilungen.- § 6. Charakteristische Funktionen zufälliger Größen.- § 7. Die Konvergenz von Verteilungsfunktionen.- VI. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.- § 1. Die ?-Funktion und die ?-Verteilungen.- § 2. Die Multinomialverteilungen.- § 3. Die Gauss-Verteilung.- § 4. Einige mit der Normalverteilung zusammenhängende Verteilungen.- VII. Die Konvergenz zufälliger Größen.- § 1. Definitionen und allgemeine Sätze.- § 2. Grenzwertsätze fürBernoulli-Experimente.- § 3. Allgemeine Konvergenzkriterien.- § 4. Der zentrale Grenzwertsatz.- Lösungen der Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.