Mathematische Optimierung mit Computeralgebrasystemen

Bei Problemen in Technik, Natur- und Wirtschaftswissenschaften werden häufig maximale Ergebnisse unter minimalem Aufwand gesucht. Deshalb gewinnt die mathematische Optimierung sowohl für Ingenieure als auch Natur- und Wirtschaftswissenschaftler zunehmend an Bedeutung. Das vorliegende Lehrbuch gibt eine Einführung in die lineare, nichtlineare und vektorielle Optimierung, wobei auch Spezialfälle wie quadratische, parametrische und diskrete Optimierung betrachtet werden. Des Weiteren wird der Gegenstand der Spieltheorie und dynamischen Optimierung skizziert. Im Buch wird auf Beweise verzichtet und dafür die Problematik anhand von Beispielen illustriert. Ein zweiter Schwerpunkt des Buches liegt auf der Berechnung der behandelten Optimierungsaufgaben mittels Computer. Hierzu werden die Computeralgebrasysteme MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD und MATLAB und das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL herangezogen und versionsunabhängig erläutert.

Das Lehrbuch führt in die lineare, nichtlineare und vektorielle Optimierung ein, wobei auch Spezialfälle wie quadratische, parametrische und diskrete Optimierung betrachtet werden. Außerdem werden Spieltheorie und dynamische Optimierung skizziert. Das Buch verzichtet auf Beweise und illustriert statt dessen die Problematik anhand von einprägsamen Beispielen. Ein zweiter Schwerpunkt liegt auf der Berechnung der behandelten Optimierungsaufgaben mittels Computer. Hierzu werden die Computeralgebrasysteme MAPLE, MATHEMATICA, MATHCAD und MATLAB und das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL herangezogen und versionsunabhängig erläutert.

Inhalt
1 Einleitung.- 1.1 Optimierung in Technik-, Natur-und Wirtschaftswissenschaften.- 1.2 Optimierung mit dem Computer.- 1.2.1 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 1.2.2 Anwendung von EXCEL.- 1.3 Hinweise zur Benutzung des Buches.- 2 Konvexe Mengen.- 2.1 Einführung.- 2.2 Eigenschaften.- 3 Funktionen.- 3.1 Einführung.- 3.2 Allgemeine Funktionen.- 3.3 Mathematische Funktionen.- 3.3.1 Elementare und höhere mathematische Funktionen..- 3.3.2 Weitere mathematische Funktionen.- 3.4 Differentiation.- 3.5 Minimum und Maximum.- 3.6 Konvexe Funktionen.- 3.6.1 Definition.- 3.6.2 Eigenschaften.- 3.6.3 Lineare und quadratische Funktionen.- 3.7 Definition von Funktionen.- 4 Grafische Darstellungen.- 4.1 Kurven.- 4.1.1 Ebene Kurven.- 4.1.2 Raumkurven.- 4.2 Flächen.- 5 Matrizen.- 5.1 Einführung.- 5.2 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 5.2.1 Lesen und Schreiben.- 5.2.2 Eingabe mittels Tastatur.- 5.2.3 Zugriff auf Matrixelemente.- 5.2.4 Rechenoperationen.- 6 Gleichungen und Ungleichungen.- 6.1 Einführung.- 6.2 Lineare Gleichungen.- 6.2.1 Eigenschaften.- 6.2.2 Basislösungen.- 6.3 Lineare Ungleichungen.- 6.3.1 Eigenschaften.- 6.3.2 Alternativsätze.- 6.4 Nichtlineare Gleichungen und Ungleichungen.- 6.5 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 7 Mathematische Optimierung - Kurzübersicht.- 7.1 Einführung.- 7.1.1 Optimum (Minimum und Maximum).- 7.1.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Optimums.- 7.1.3 Optimalitätsbedingungen.- 7.1.4 Lösungsmethoden.- 7.1.5 Stabilitätsbetrachtungen.- 7.2 Extremalaufgaben.- 7.2.1 Aufgaben ohne Nebenbedingungen.- 7.2.2 Aufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen.- 7.3 Lineare Optimierung.- 7.4 Nichtlineare Optimierung.- 7.5 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung.- 7.6 Parametrische Optimierung.- 7.7 Vektoroptimierung.- 7.8 Stochastische Optimierung.- 7.9 Spieltheorie.- 7.10 Dynamische Optimierung.- 7.11 Variationsrechnung.- 7.12 Optimale Steuerung.- 7.13 Mathematische Optimierung mit dem Computer.- 8 Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen.- 8.1 Einführung.- 8.2 Optimalitätsbedingungen.- 8.2.1 Notwendige Bedingungen.- 8.2.2 Hinreichende Bedingungen.- 8.2.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 8.3 Numerische Methoden.- 8.3.1 Newton-Methoden.- 8.3.2 Abstiegsmethoden.- 8.3.3 Methoden der stochastischen Suche.- 8.3.4 Weitere Methoden.- 8.3.5 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 8.3.6 Anwendung von EXCEL.- 9 Extremalaufgaben mit Gleichungsnebenbedingungen.- 9.1 Einführung.- 9.2 Notwendige Optimalitätsbedingungen.- 9.2.1 Lagrangesche Multiplikatorenmethode.- 9.2.2 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 9.3 Numerische Methoden.- 9.3.1 Strafmethoden.- 9.3.2 Weitere Methoden.- 9.3.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 9.3.4 Anwendung von EXCEL.- 10 Lineare Optimierungsaufgaben.- 10.1 Einführung.- 10.2 Eigenschaften.- 10.3 Grafische Lösung.- 10.4 Simplexmethode.- 10.4.1 Einführung.- 10.4.2 Algorithmus.- 10.5 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 10.6 Anwendung von EXCEL.- 10.7 Duale Aufgabe.- 10.8 Transportaufgaben.- 10.9 Polynomiale Lösungsmethoden.- 11 Nichtlineare Optimierungsaufgaben.- 11.1 Einführung.- 11.2 Grafische Lösung.- 11.3 Optimalitätsbedingungen.- 11.3.1 Sattelpunktbedingungen.- 11.3.2 Fritz-John-Bedingungen.- 11.3.3 Kuhn-Tucker-Bedingungen.- 11.3.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 11.4 Spezialfälle.- 11.4.1 Eindimensionale Optimierung.- 11.4.2 Separierbare Optimierung.- 11.4.3 Quotientenoptimierung.- 11.4.4 Quadratische Optimierung.- 11.4.5 Konvexe Optimierung.- 11.5 Dualität.- 11.6 Numerische Methoden.- 11.6.1 Eindimensionale Suche.- 11.6.2 Straf-und Barrieremethoden.- 11.6.3 Methoden der zulässigen Richtungen.- 11.6.4 Schnittebenenmethoden.- 11.6.5 SQP-Methoden.- 11.6.6 Globale Optimierung.- 11.6.7 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 11.6.8 Anwendung von EXCEL.- 12 Quadratische Optimierungsaufgaben.- 12.1 Einführung.- 12.2 Lösungsmethoden.- 12.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 12.4 Anwendung von EXCEL.- 13 Ausgleichsaufgaben - Quadratmittelaufgaben.- 13.1 Einführung.- 13.2 Lösungsmethoden.- 13.2.1 Lineare Aufgaben.- 13.2.2 Nichtlineare Aufgaben.- 13.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen.- 13.4 Anwendung von EXCEL.- 14 Ganzahlige und kombinatorische Optimierungsaufgaben.- 14.1 Einführung.- 14.2 Lösungsmethoden.- 14.2.1 Schnittebenenmethoden.- 14.2.2 Branch and Bound-Methoden.- 14.2.3 Heuristische Methoden.- 14.3 Kombinatorische Optimierung.- 14.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 15 Parametrische Optimierungsaufgaben.- 15.1 Einführung.- 15.2 Lineare Aufgaben.- 15.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 16 Vektoroptimierungsaufgaben.- 16.1 Einführung.- 16.2 Lösungsbegriffe und Lösungsmethoden.- 16.2.1 Effiziente Punkte.- 16.2.2 Lösungsmethoden.- 16.2.3 Skalarisierungsmethoden.- 16.2.4 Lineare Aufgaben.- 16.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 17 Spieltheorie.- 17.1 Einführung.- 17.2 Matrixspiele.- 17.2.1 Einführung.- 17.2.2 Strategien.- 17.2.3 Sattelpunktspiele.- 17.2.4 Lösung mittels linearer Optimierung.- 17.3 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 18 Dynamische Optimierung.- 18.1 Einführung.- 18.2 N-stufige Optimierungsaufgaben.- 18.3 Bellmansches Optimalitätsprinzip.- 18.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen und EXCEL.- 19 Zusammenfassung.- Anhang A: MAPLE und MATHEMATICA.- A.1 Aufbau und Benutzeroberfläche.- A.1.1 MAPLE.- A.1.2 MATHEMATICA.- A.2 Zusatzprogramme zur Optimierung.- Anhang B: MATHCAD und MATLAB.- B.1 Aufbau und Benutzeroberfläche.- B.1.1 MATHCAD.- B.1.2 MAILAB.- B.2 Funktionsdateien in MAILAB.- B.3 Zusatzprogramme zur Optimierung.- Anhang C: EXCEL.- C.1 Aufbau und Benutzeroberfläche.- C.2 SOLVER.- Anhang D: Programmierung mit MAPLE, MATHEMATICA,MATHCAD und MATLAB.- D.1 Zuweisungenv.- D.2 Verzweigungen.- D.3 Schleifen.- D.4 Programmstruktur und Beispiel.- Sachwortverzeichnis.