Kategorien I

Inhalt

1. Kategorien.- 1.1 Definition für Kategorien.- 1.2 Beispiele.- 1.3 Isomorphismen.- 1.4 Weitere Beispiele.- 1.5 Additive Kategorien.- 1.6 Unterkategorien.- 2. Funktoren.- 2.1 Kovariante Funktoren.- 2.2 Standardbeispiele.- 2.3 Kontravariante Funktoren.- 2.4 Duale Kategorien.- 2.5 Bifunktoren.- 2.6 Natürliche Transformationen.- 3. Kategorien von Kategorien und von Funktoren.- 3.1 Vorbemerkungen.- 3.2 Universen.- 3.3 Vereinbarungen.- 3.4 Funktorkategorien.- 3.5 Die Kategorie der kleinen Kategorien.- 3.6 Große Kategorien.- 3.7 Der Wertfunktor.- 3.8 Der additive Fall.- 4. Darstellbare Funktoren.- 4.1 Einbettungen.- 4.2 Yoneda-Lemma.- 4.3 Der additive Fall.- 4.4 Darstellbare Funktoren.- 4.5 Partiell darstellbare Bifunktoren.- 5. Einige spezielle Objekte und Morphismen.- 5.1 Monomorphismen.- 5.2 Retraktionen und Coretraktionen.- 5.3 Bimorphismen.- 5.4 Terminale und initiale Objekte.- 5.5 Nullobjekte.- 6. Diagramme.- 6.1 Diagrammschemata und Diagramme.- 6.2 Diagramme mit Kommutativitätsbedingungen.- 6.3 Diagramme als Funktordaten.- 6.4 Quotienten von Kategorien.- 6.5 Klassen von Mono- bzw. Epimorphismen.- 7. Limites.- 7.1 Definition für Limites.- 7.2 Differenzkerne.- 7.3 Produkte.- 7.4 Vollständige Kategorien.- 7.5 Limites in Funktorkategorien.- 7.6 Doppellimites.- 7.7 Kriterien für Limites.- 7.8 Pullbacks.- 8. Colimites.- 8.1 Definition für Colimites.- 8.2 Differenzcokerne.- 8.3 Coprodukte.- 8.4 Covollständige Kategorien.- 8.5 Colimites in Funktorkategorien.- 8.6 Doppelte Colimites.- 8.7 Kriterien für Colimites.- 8.8 Pushouts.- 9. Filtrierende Colimites.- 9.1 Zur Berechnung von Limites und Colimites.- 9.2 Filtrierende Kategorien.- 9.3 Filtrierende Colimites.- 9.4 Vertauschungssätze.- 10. Mengenwertige Funktoren.- 10.1 Erbschaft der Zielkategorie.- 10.2 DieYoneda-Einbettung.- 10.3 Der allgemeine Darstellungssatz.- 10.4 Projektive und injektive Objekte.- 10.5 Generatoren und Cogeneratoren.- 10.6 Lokal kleine Kategorien.- 10.7 Elementarer Beweis des Darstellungssatzes.- 11. Objekte mit algebraischer Struktur.- 11.1 Algebraische Strukturen.- 11.2 Operation eines Objektes auf einem anderen.- 11.3 Homomorphismen.- 11.4 Reduktion auf Ens.- 11.5 Limites und filtrierende Colimites.- 11.6 Homomorph verträgliche Strukturen.- 12. Abelsche Kategorien.- 12.1 Überblick.- 12.2 Semiadditive Struktur.- 12.3 Kerne und Cokerne.- 12.4 Zerlegung von Morphismen.- 12.5 Die additive Struktur.- 12.6 Idempotente.- 13. Exakte Folgen.- 13.1 Exakte Folgen in exakten Kategorien.- 13.2 Kurze exakte Folgen.- 13.3 Exakte und treue Funktoren.- 13.4 Exakte Quadrate.- 13.5 Einige Diagrammlemmata.- 14. Colimites von Monomorphismen.- 14.1 Vorgeordnete Klassen.- 14.2 Vereinigungen von Monomorphismen.- 14.3 Urbilder von Monomorphismen.- 14.4 Bilder von Monomorphismen.- 14.5 Konstruktionen für Colimites.- 14.6 Grothendieck-Kategorien.- 15. Injektive Hüllen.- 15-1 Moduln über additiven Kategorien.- 15.2 Wesentliche Erweiterungen.- 15.3 Existenz von Injektiven.- 15.4 Ein Einbettungssatz.- Literatur.- Sachverzeichnis zu Teil I.