Grundkurs Biomathematik

An konkreten Beispielen aus der Biologie, Biochemie, Medizin und Pharmazie werden die verschiedenen mathematischen Methoden entwickelt und erläutert, wobei graphische Darstellungen und anschauliche Interpretationen der tragenden Ideen das Herangehen prägen. Die Verwendung von Mathematica ermöglicht hierbei einen schnellen Aufstieg von grundlegenden Beispielen und Modellierungsfragen zu den komplexen Fragestellungen moderner interdisziplinärer Forschung.

Inhalt
1 Wiederholungen und Einführung in Mathematica.- 1.1 Erste Auswertung von Beobachtungsdaten mit Mathematica, grafische Darstellungen.- 1.2 Quadratische Funktionen und Mathematica.- 1.3 Komplexe Zahlen.- 1.4 Elementare Funktionen.- 1.5 Wiederholung zur Differential- und Integralrechnung.- 1.6 Kurvendiskussion mit Mathematica.- 1.7 Reihenentwicklungen mit Mathematica, Taylorreihen.- 2 Wachstumsmodelle. Gewöhnliche Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen.- 2.1 Exponentielles Wachstum.- 2.2 Wachstum mit Sättigungsverhalten. Logistisches Wachstum. Verhulstkurve. Gleichgewichte und Stabilität in mathematischen Modellen.- 2.3 Verzögerungsmodelle. Dynamische Krankheiten in der Physiologie.- 3 Lineare Gleichungssysteme.- 3.1 Einführung.- 3.2 Matrizen.- 3.3 Determinanten.- 3.4 Inverse Matrizen.- 3.5 Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme.- 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 3.7 Anwendungen in der Populationsgenetik.- 4 Populationen mit Wechselwirkungen. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 4.1 Das Räuber-Beute-Modell von Lotka-Volterra.- 4.2 Ein Räuber-Beute-Modell mit Grenzzyklus.- 4.3 Konkurrenzverhalten zweier Arten mit gleicher Nahrungsquelle. Volterrasches Exklusionsprinzip.- 4.4 Oszillierende chemische und biochemische Systeme. Die Belousov-Zhabotinskii-Reaktion.- 4.5 Erregbarkeit von Nervenmembranen im Differentialgleichungsmodell. Das FitzHugh-Namugo-Modell in der Hodgkin-Huxley-Theorie.- 5 Dynamik von Infektionskrankheiten.- 5.1 Die SEIR-Klasseneinteilung.- 5.2 Untersuchung des SIR-Modells.- 5.3 Anwendung des SIR-Modells auf Influenza und Pest.- 6 Kompliziertere Anwendungen mit Computerlösungen.- 6.1 Michaelis-Menten-Theorie in der Enzymkinetik. Unterschiedliche Zeitskalen.- 6.2 Rückkopplungsmechanismen im Zusammenwirken vonmRNA, Enzymen und Proteinen.- 6.3 Schwarze Löcher in der Biologie.- 7 Räumlich-zeitliche Wirkungsausbreitung. Partielle Differentialgleichungen.- 7.1 Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung.- 7.2 Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Wellenförmige Wirkungsausbreitung.- 7.3 Fourierreihen. Ein Rand-Anfangswert-Problem.- 8 Statistik.- 8.1 Statistische Maßzahlen. Berechnungen und grafische Darstellungen mit Mathematica.- 8.2 Diskrete und stetige Zufallsgrößen, Realisierung von Zufallsgrößen als verallgemeinertes Würfeln, Unabhängigkeit.- 8.3 Erwartungswert, Varianz und Verteilungsfunktion.- 8.4 Normalverteilung.- 8.5 Realisierung von Zufallsgrößen, Zufallsgeneratoren und Ursachen zum Auftreten von Normalverteilungen.- 8.6 Binomialverteilung.- 8.7 Poissonverteilung.- 8.8 Chi-Quadrat, F- und Student-t-Verteilung.- 8.9 Konfidenzintervalle.- 8.10 Der t-Test nach Student, weitere Tests zu normalverteilten Ausgangsdaten.- 8.11 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest.- 8.12 Der Vierfelder-Chi-Quadrat-Test.- 8.13 Der Kohnogoroff-Smirnoff-Test.- 8.14 Varianzanalyse.- 8.15 Lineare Regression, Kovarianzkoeffizient.- 8.16 Nichtlineare Regression.- 9 Fraktale.- 9.1 Von den Monsterkurven der Analysis zu den Fraktalen.- 9.2 Juliamengen und Mandelbrotmenge.- 9.3 Komplexe Cantorsche Mengen.- Anhang: Technische Hinweise zur Arbeit mit Mathematica.- Literatur.- Stichwortverzeichnis.