Zahlentheorie

Auf der Grundlage der Mathematikkenntnisse des ersten Studienjahres bietet der Autor eine Einführung in die Zahlentheorie mit Schwerpunkt auf der elementaren und algebraischen Zahlentheorie. Das Buch wendet sich auch an Nichtspezialisten, denen es über die Zahlen frühzeitig den Weg in die Algebra öffnet. Angestrebte Ziele sind: Der Satz von Kronecker-Weber zur Krönung der Galois-Theorie, der Minkowskische Gitterpunktsatz, der Dirichletsche Primzahlsatz und die Bewertungstheorie der Körper.

Einführung in die Algebra und Einführung in die Zahlentheorie - dieses Lehrbuch bietet beides in einem! Wohlkomponiert und in übersichtlichen Kapiteln wird hier bereits Studenten mit Mathematikkenntnissen des ersten Studienjahres ein Zugang zu beiden Disziplinen eröffnet. Ein umfangreicher Aufgabenteil mit Anleitungen bietet viele konkrete Beispiele, alternative Beweise und Rechenpraxis. Als Besonderheit hat dieser Band unter anderem eine Ausklapptafel zum Sieb des Eratosthenes zu bieten. Das Lehrbuch ist auch für Studenten der Informatik und anderer angrenzender Fachbereiche geeignet.

Inhalt
1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 1.1 Die natürlichen Zahlen.- 1.2 Der größte gemeinsame Teiler.- 1.3 Vier Regeln zum größten gemeinsamen Teiler.- 1.4 Über die Primzahlen.- 1.5 Kanonische Zerlegung und Teiler.- 1.6 Die Rolle der Primzahlen in ?.- Aufgaben.- 2 Primzahlen und irreduzible Polynome.- 2.1 Das Sieb des Eratosthenes.- 2.2 Über das Wachstum der Primzahlen.- 2.3 Der Fundamentalsatz in Polynomringen.- 2.4 Über Nullstellen und größte gemeinsame Teiler.- 2.5 Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra.- Aufgaben.- 3 Die Restklassenringe von ?.- 3.1 Die Restklassen und ihre Verknüpfungen.- 3.2 Die Eulersche ?-Funktion.- 3.3 Der Chinesische Restsatz.- 3.4 Vielfache und Potenzen.- 3.5 Anwendung auf die prime Restklassengruppe.- Aufgaben.- 4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen.- 4.1 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppen.- Aufgaben.- 5 Das quadratische Reziprozitätsgesetz.- 5.1 Beschreibung der Quadrategruppe als Kern.- 5.2 Einführung des Jacobi-Symbols nach Kronecker.- 5.3 Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes.- 5.4 Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol.- 5.5 Quadrate in der primen Restklassengruppe.- Aufgaben.- 6 Gewöhnliche Kettenbrüche.- 6.1 Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus.- 6.2 Möbiustransformationen der projektiven Gerade.- 6.3 Die Kettenbruchentwickiung der Irrationalzahlen.- 6.4 Die Approximationsgüte der Näherungsbrüche.- 6.5 Periodische Kettenbrüche.- 6.6 Beste Näherungen.- 6.7 Die Farey-Reihe.- Aufgaben.- 7 Quadratische Zahlkörper.- 7.1 Teilkörper von ? als Vektorräume über ?.- 7.2 Gitter und ihre Ordnungen.- 7.3 Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe.- 7.4 Der Automorphismus quadratischer Zahlkörper.- 7.5 Grundeinheiten und Kettenbrüche.- Aufgaben.- 8 Teilbarkeit in Integritätsbereichen.- 8.1 Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre.- 8.2 Faktorielle Ringe.- 8.3 Hauptidealringe.- 8.4 Zahlkörper mit euklidischem Algorithmus.- 8.5 Arithmetik quadratischer Zahlkörper.- Aufgaben.- 9 Die lokalen Körper über ?.- 9.1 Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen.- 9.2 Der p-Betrag und die ultrametrische Ungleichung.- 9.3 Der Körper der p-adischen Zahlen.- 9.4 Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten.- 9.5 Die verschiedenen Beträge des Körpers ?.- Aufgaben.- 10 Das Hilbertsche Normenrestsymbol.- 10.1 Quadratische Erweiterungen p-adischer Körper.- 10.2 Die Normen-Index-Gleichung.- 10.3 Das Hilbert-Symbol als Bilinearform.- 10.4 Produktformel für die lokalen Hilbertsymbole.- Aufgaben.- 11 Elemente der Gruppentheorie.- 11.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen.- 11.2 Torsions-Elemente in abelschen Gruppen.- 11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen.- 11.4 Die symmetrische Gruppe.- 11.5 Exkurs über Gruppenaktionen.- 11.6 Die Sylowschen Sätze.- Aufgaben.- 12 Zahlkörper und ihre Ordnungen.- 12.1 Die Gitter in algebraischen Zahlkörpern.- 12.2 Die Dedekindschen Ordnungen.- 12.3 Die Diskriminante einer Basis.- 12.4 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 12.5 Konstruktion von Zahlkörpern aus Polynomen.- 12.6 Polynome über faktoriellen Ringen.- 12.7 Biquadratische Zahlkörper.- Aufgaben.- 13 Der Fundamentalsatz in Zahlkörpern.- 13.1 Die Gruppe der gebrochenen Ideale.- 13.2 Der allgemeine Chinesische Restsatz.- 13.3 Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkörpern.- 13.4 Zerlegung der Primzahlen in Zahlkörpern.- 13.5 Restklassenrechnen im Ganzheitsring.- 13.6 Relativerweiterungen von Zahlkörpern.- 13.7 Quadrate in quadratischen Zahlkörpern.- Aufgaben.- 14 Endliche Galois-Erweiterungen.- 14.1 Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms.- 14.2 Fortsetzung von Körper-Isomorphismen.- 14.3 Einfache Nullstellen und formale Ableitung.- 14.4 Uber Homomorphismen von Körpern.- 14.5 Der Fixkörper von Automorphismen.- 14.6 Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 14.7 Polynome in Galoiserweiterungen.- 14.8 Automorphismen rationaler Funktionenkörper.- Aufgaben.- 15 Anwendungen der Galois-Theorie.- 15.1 Aktion der Galoisgruppe auf den Wurzeln.- 15.2 Separable Körpererweiterungen.- 15.3 Norm, Spur und Hauptpolynom.- 15.4 Der Verschiebungssatz der Galoistheorie.- 15.5 Adjunktion von Einheitswurzeln.- 15.6 Erweiterungen endlicher Körper.- 15.7 Galoiserweiterungen von Zahlkörpern.- 15.8 Die Hilbertsche Untergruppenkette.- Aufgaben.- 16 DifFerente und Diskriminante.- 16.1 Einführung der Differente eines Zahlkörpers.- 16.2 Über monogene Ordnungen in Zahlkörpern.- 16.3 Der zweite Dedekindsche Hauptsatz.- 16.4 Der dritte Dedekindsche Hauptsatz.- 16.5 Die Resultante zweier Polynome.- 16.6 Eigenschaften der Resultante.- 16.7 Die Diskriminante eines normierten Polynoms.- Aufgaben.- 17 Kreisteilungskörper über ?.- 17.1 Einheitswurzeln von Primzahlpotenzordnung.- 17.2 Der m-te Kreisteilungskörper.- 17.3 Ein Satz zur Fermatschen Vermutung.- 17.4 Zerlegung der Primzahlen in Kreiskörpern.- 17.5 Der Satz von Kronecker und Weber.- Aufgaben.- 18 Geometrie der Zahlen.- 18.1 Der Gitterpunktsatz von Minkowski.- 18.2 Einbettung der Gitter von Zahlkörpern.- 18.3 Schranken für Normen und Diskriminanten.- 18.4 Der Dirichletsche Einheitensatz.- 18.5 Normeuklidische Zahlkörper nach H.W. Lenstra.- 18.6 Ausnahme-Einheiten.- Aufgaben.- 19 Der Dirichletsche Primzahlsatz.- 19.1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen.- 19.2 Dirichlet-Reihen.- 19.3 Logarithmus und unendliche Produkte.- 19.4 Der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.- 19.5 Die Dedekindsche Zetafunktion.- 19.6 Die Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper.- Aufgaben.- 20 Die Bewertungen der Zahlkörper.- 20.1 Komplettierungen.- 20.2 Archimedische und ultrametrische Bewertungen.- 20.3 Fortsetzung von Bewertungen.- 20.4 Beträge und Komplettierungen der Zahlkörper.- 20.5 p-Körper.- 20.6 Erweiterungen von p-Körpern.- Aufgaben.- Anhang: Determinanten.- Aufgaben.- Literatur.