Projektive Geometrie

Geometrie? Hat Geometrie heute überhaupt noch eine Bedeutung? In der Schule? Auf der Universität? In der Forschung? - Es ist unübersehbar, daß das Ansehen der Geometrie im allgemeinen Bewußtsein deutlich zurückgegangen ist. Diesen Eindruck gewinnt man nicht nur, wenn man sich die heutige Schulgeometrie vergegenwärtigt, nicht nur, wenn man sich die Vorlesungen und Lehrbücher für Studenten anschaut, nicht nur, wenn man die sich unterordnende Stellung der Geometrie auf internationa len Tagungen betrachtet - dieser Eindruck drängt sich vor allem dann auf, wenn man mit Geometern zu tun hat. Dieser Vorwurf wird nicht von außen erhoben, viel schlimmer: Die Geometer glauben selbst nicht mehr an ihre Sache! Die Gründe, die für den vermeintlichen Niedergang der Geometrie genannt werden, sind vage und wirr: reine Mathematik sei sowieso obsolet, innerhalb der Mathematik hätten andere Disziplinen viel größeres Ansehen und viel größeres Selbstbewußtsein, Geometrie sei in Algebra aufgegangen, . . . Wenn schon Geometrie, warum dann ausgerechnet projektive Geometrie? Wenn überhaupt, dann wenigstens algebraische Geometrie oder Differentialgeometrie oder (für diejenigen, die sich noch für philosophische "Scheinprobleme" interessieren kön nen) Grundlagen der Geometrie. Projektive Geometrie ist doch ein Gebiet, das a priori uninteressant ist, in dem alle Fragen spätestens im vorigen Jahrhundert gelöst wurden, ein Gebiet, das bestenfalls angewandte lineare Algebra ist. Kurz: ein Gebiet, das in der heutigen Zeit, in der es nicht um reine Anschauung, sondern um reale An wendungen geht, bestenfalls als harmloses Steckenpferd für pensionierte Studienräte taugt, in der modernen Lehre und Forschung aber nichts verloren hat.

Autorentext

Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher lehrt im Schwerpunkt Geo- metrie und Diskrete Mathematik des Fachbereichs Mathematik an der Justus-Liebig-Universität in Gießen.

Klappentext

Dieses Lehrbuch präsentiert projektive Geometrie, ein wichtiges klassisches Gebiet der Mathematik, in neuem Gewand: Ein Akzent liegt auf überraschenden und wichtigen Anwendungen von Geometrie in Codierungstheorie und Kryptographie. Dazu werden alle benötigten Teile der klassischen projektiven Geometrie (synthetische und analytische Geometrie, Quadriken) bereitgestellt. Das Buch ist in moderner mathematischer Sprache geschrieben. Zahlreiche Abbildungen und weit über hundert meist einfache Übungsaufgaben unterstützen das Verständnis des Stoffes. Es eignet sich vorzüglich zum Selbststudium.

Inhalt
1 Synthetische Geometrie.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Die Axiome der projektiven Geometrie.- 1.3 Aufbau der projektiven Geometrie.- 1.4 Quotientengeometrie.- 1.5 Endliche projektive Räume.- 1.6 Affine Geometrie.- 1.7 Diagramme.- 1.8 Anwendung: Effiziente Kommunikation.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Projekt.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.- 2 Analytische Geometrie.- 2.1 Der projektive Raum P(V).- 2.2 Der Satz von Desargues und der Satz von Pappos.- 2.3 Homogene und inhomogene Koordinaten.- 2.4 Das Hyperboloid.- 2.5 Rationale Normkurven.- 2.6 Die Moulton-Ebene.- 2.7 Räumliche Geometrien sind desarguessch.- 2.8 Anwendung: Ein Verkabelungsproblem.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können.- 3 Die Struktursätze oder Wie lassen sich projektive und affine Räume gut beschreiben?.- 3.1 Zentralkollineationen.- 3.2 Die Gruppe der Translationen.- 3.3 Der Körper.- 3.4 Die ersten Struktursätze.- 3.5 Die zweiten Struktursätze.- 3.6 Projektive Kollineationen.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können.- 4 Quadratische Mengen.- 4.1 Grundlegende Definitionen.- 4.2 Der Index einer quadratischen Menge.- 4.3 Quadratische Mengen in Räumen kleiner Dimension.- 4.4 Quadratische Mengen in endlichen projektiven Räumen.- 4.5 Elliptische, parabolische und hyperbolische quadratische Mengen.- 4.6 Die Kleinsche quadratische Menge.- 4.7 Quadriken.- 4.8 Plücker-Koordinaten.- 4.9 Eine Anwendung: Speicherplatzreduktion für kryptographische Schlüssel.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können.- 5 Anwendungen von Geometrie in der Codierungstheorie.- 5.1 Grundlegende Begriffe der Codierungstheorie.- 5.2 LineareCodes.- 5.3 Hamming-Codes.- 5.4 MDS-Codes.- 5.5 Reed-Muller-Codes.- Übungsaufgaben.- Richtig oder falsch?.- Projekte.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können.- 6 Anwendungen von Geometrie in der Kryptographie.- 6.1 Grundlegende Begriffe der Kryptographie.- 6.2 Verschlüsselung.- 6.3 Authentikation.- 6.4 Shared Secret Schemes.- Übungsaufgaben.- Projekt.- Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können.- Stichwortverzeichnis.