Einführung in die Transzendenten Zahlen

Uber transzendente Zahlen gibt es nur sehr wenige zusammenfassende Darstellungen. Ein Grund dafiir diirfte darin zu suchen sein, daB in der Originalliteratur iiber transzendente Zahlen nur vereinzelt allgemeinere Methoden entwickelt worden sind und zumeist die Transzendenzergeb nisse durch recht spezielle, eigens auf die jeweiligeAufgabe zugeschnittene Gedanken bewiesen wurden. Erst seit einiger Zeit wurden in zunehmen dem MaBe umfassendere Beweisprinzipien deutlich. Gerade auf die Herausarbeitung von allgemeineren Beweismethoden habe ich in dieser Schrift besonderen Wert gelegt und dabei sogar in Kauf genommen, daB einige Resultate durchaus nicht mit dem kiirzest m6glichen, dafiir aber einem verallgemeinerungsfahigen Beweis bestatigt werden. Aus solchen methodischen Gesichtspunkten heraus glaubte ich auch, mich auf die meines Erachtens wichtigsten Teile der Theorie der transzendenten Zahlen beschranken zu sollen, und konnte dabei manche geistvolle Einzeluntersuchung nicht beriicksichtigen. Ich habe mich bemiiht, eine Einfiihrung in das leider so wenig be kannte Gebiet der transzendenten Zahlen zu geben, bei der nur einige Grundkenntnisse aus der Theorie der algebraischen Zahlen und aus der Funktionentheorie vorausgesetzt werden. Die einzelnen Kapitel sind unabhangig voneinander lesbar, insbesondere stehen Kapitel I und III fiir sich, wenn auch teilweise auf Hilfssatze aus vorhergehenden Kapiteln zuruckgegriffen wird. 1m Literaturverzeichnis ist nur diejenige Literatur aufgefiihrt, auf die bereits im Text verwiesen ist. Fiir wertvolle Hilfe bei der Durchsicht des Manuskripts und der Korrekturen bin ich Herrn Dr. LEOPOLDT zu Dank verpflichtet. Dem Herausgeber und dem Verlag schulde ich Dank fiir das Verstandnis und die iiberaus groBe Geduld, die sie mir entgegengebracht haben. Erlangen, im Marz 1957.

Autorentext
Dr. theol. Theodor Schneider ist em. Professor für Dogmatik und Ökumenische Theologie an der katholischen Fakultät der Universität Mainz.

Inhalt
I. Kapitel. Konstruktion transzendenter Zahlen.- 1. Der LIOUVILLEsche Approximationssatz.- 2. LIOUVILLEsche transzendente Zahlen.- 3. Verallgemeinerung des LIOUVILLEschen Satzes.- 4. Eine Anwendung des verallgemeinerten LIOUVILLEschen Satzes.- 5. Schärfere Approximationssätze. Der Satz von THUE-SIEGEL-ROTH.- 6. Weitere Anwendungen auf transzendente Zahlen.- II. Kapitel. Transzendente Zahlen als Werte von periodischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen.- 1. Irrationalität von ?.- 2. Transzendenz der Werte der Exponentialfunktion und des Logarithmus.- 3. Arithmetische Bedingungen für algebraische Abhängigkeit von Funktionen.- 4. Transzendenzresultate, die mit der Exponentialfunktion, den elliptischen Funktionen und der Modulfunktion zusammenhängen.- III. Kapitel. Eine Klasseneinteilung der Zahlen nach MAHLER.- 1. Einführung der MAHLERschen Klassifikation.- 2. Eigenschaften der MAHLERschen Klasseneinteilung.- 3. Die Klassifikation von KOKSMA und ihr Zusammenhang mit der MAHLERschen Einteilung.- 4. Eine maßtheoretische Frage.- IV. Kapitel. Das Transzendenzmaß.- 1. Ein Transzendenzmaß für e.- 2. Eine GELFONDsche Methode zur Annäherung von ?ß durch algebraische Zahlen.- 3. Eine verallgemeinerte Fragestellung und weitere Resultate.- V. Kapitel. Algebraische Unabhängigkeit transzendenter Zahlen (Die SIEGELsche Methode).- 1. Arithmetische Hilfsbetrachtungen.- 2. Der LINDEMANNsche Satz.- 3. Algebraische Beziehungen zwischen BESSELschen Funktionen und ihren ersten Ableitungen.- 4. Der SIEGELsche Satz über die Werte von BESSELschen Funktionen und weitere Resultate.- Einige offene Fragestellungen.- Namenverzeichnis.