Während meiner Promotionszeit an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel hielt Salvatore Siciliano einen anregenden Vortrag im Oberseminar "Algebrentheorie" zu Cartan-Teilalgebren in Lie-Algebren assoziiert zu assoziativen Algebren. Dieser Vortrag war für mich der Anreiz, mich näher mit maximal nilpotenten Teilstrukturen der assoziierten Lie-Algebra zu beschäftigen. In dem vorliegenden Buch werden wir Sicilianos Theorie zu Cartan-Teilalgebren aufarbeiten und auf verschiedene spezielle assoziative Algebrenklassen ausdehnen. Zusätzlich werden wir eine zweite maximal nilpotente Teilstruktur, nämlich das Nilradikal, in der assoziierten Lie-Algebra analysieren und beschreiben. Bei den Analysen steht der Gedanke im Vordergrund, diese ausgezeichneten Teilstrukturen der Lie-Algebra mithilfe der assoziativen Struktur der Ausgangsalgebra zu identifizieren. Dies wird in diesem Werk erfolgreich umgesetzt. Zahlreiche Beispiele (u.a. ausgehend von Gruppenalgebren und von Solomon-(Tits-)-Algebren) illustrieren dem_der Leser_in die Ergebnisse. Diese_r kann wiederum in den zahlreichen 348 Übungsaufgaben das Gelernte selbst anwenden.

Autorentext

Sven Bodo Wirsing was born in 1975 in Neumünster. After graduating from high school at KKS in Itzehoe (with a focus on mathematics and physics), he studied mathematics with a minor in business administration (especially logistics) at CAU university in Kiel. He did his doctorate in 2005 on group and algebra theory. During his years of study in Kiel he gained experience in the analysis of interdisciplinary processes, which are reflected in different disciplines of algebra, such as group theory, representation theory, theory of Lie and associative algebras. From this experience, he also studied and analyzed the subject matter of the present work. Since the end of his doctorate, Dr. Wirsing has been working as a senior IT consultant for logistics processes at several renowned companies where he is responsible for logistics optimization and maintenance. Since 2012 he has published several books on algebras.

Leseprobe
Textprobe:
Einleitung:
Maximal nilpotent sind die Cartan-Teilalgebren / Ebenso wie das Nilradikal / Beide studieren wir im reichen Tal / Der assoziierten Lie-Algebren.
(Sven Wirsing, im März 2015)
In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden sog. Cartan-Teilalgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet.
Während meiner Promotionszeit an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel hielt Salvatore Siciliano einen anregenden Vortrag im Oberseminar zu Cartan-Teilalgebren in Lie-Algebren assoziiert zu assoziativen Algebren. Dieser Vortrag war für mich der Anreiz, mich näher mit maximal nilpotenten Teilstrukturen der assoziierten Lie-Algebra zu assoziativen Algebren zu beschäftigen. In dem vorliegenden Buch werden wir seine Theorie zu Cartan-Teilalgebren aufarbeiten und auf verschiedene spezielle assoziative Algebren ausdehnen. Zusätzlich werden wir eine zweite maximal nilpotente Teilstruktur, nämlich das Nilradikal, in der assoziierten Lie-Algebra analysieren und beschreiben.
Das erste Kapitel hat einleitenden Charakter und stellt die in diesem Buch verwendeten assoziativen Algebren, Monoide und Gruppen systematisch zusammen. Sie dienen im weiteren Verlauf dieses Buch zur Illustration der erlangten Erkenntnisse allgemeinerer Natur und sollen dem Leser diese Ergebnisse an und ihre Anwendung auf konkrete Strukturen verdeutlichen. Einige Anwendungen auf diese Strukturen werden auch in die zahlreichen Übungsaufgaben verlagert, die am Ende jedes Kapitels bzw. Abschnittes zu finden sind. Diese Aufgaben dienen dem Leser als weitere Vertiefung in die geschilderten Thematiken. Zu Beginn jeder übungsaufgaben-Serie befinden sich zudem offene Fragestellungen, die dem Leser (aber auch dem Autor) als Basis für weitere Forschungen in diesem Bereich dienen können. Zahlreiche Graphiken verdeutlichen dem Leser zudem die erlangten Ergebnisse in diesem Buch.
Wir fassen in Kapitel 2 einige Resultate über die Thematik von endlichen Untergruppen von Körpern und Divisionsalgebren zusammen. Teilweise geben wir Beweise dieser grundlegenden algebraischen Resultate an, teilweise zitieren wir nur entsprechende Artikel in der Literatur. Einige dieser Aussagen werden wir in an einigen Stellen benutzen, weshalb die aufgeführten Beweise zu einem tieferen Verständnis der entsprechenden Resultate dienen. Dieses Kapitel hat der Autor aber auch aus Eigen-Interesse an den Beweisen der aufgeführten Resultate integriert. Zu nennen sind dabei die Resultate zur Zyklizität endlicher Untergruppen von Körpern, der Satz von Wedderburn über endliche Divisionsalgebren sowie Hersteins und Amitsurs Erkenntnisse zur Klassifikation endlicher Untergruppen von Schiefkörpern.
Ähnlich strukturiert ist auch das Kapitel 3. Hierbei beschäftigen wir uns mit der Normal- und Subnormalteilerstruktur von Einheitengruppen von Divisionsalgebren. Dabei geben wir einen Beweis für den Satz von Cartan- Brauer-Hua zur Normalteiler-Struktur an, stellen das Ergebnis von Scott zu auflösbaren Einheitengruppen ausführlich dar und beenden das Kapitel mit dem Satz von Stuth zur Subnormalteiler-Struktur. Letzteres Ergebnis verallgemeinert die vorherigen Ergebnisse, wird aber ohne Beweis angegeben.
Zu einer assoziativen Algebra kann man in natürlicherweise die sog. Assoziierte Lie-Algebra ableiten. Wir untersuchen in Kapitel 4, wie sich das Nilradikal (das grösste nilpotente Ideal) dieser Lie-Algebra mit Hilfe der Ausgangsalgebra und deren assoziativer Struktur beschreiben lässt. Es zeigt sich, dass dabei das Zentrum und das Nilradikal der assoziativen Algebra eine Rolle spielen: in vielen Fällen ist das Nilradikal Summe dieser beiden assoziativen Teilstrukturen. Als zusätzliche Voraussetzung fordern wir lediglich die Separabilität der Radikalfaktorstruktur der assoziativen Algebra, um mit Hilfe des Satzes von Wedderburn-Malcev ein Radikalkomplement verwenden zu kö