Grundzüge der mathematischen Logik

In der modernen Mathematik ist die sogenannte axiomatische Methode weit verbreitet; die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Lobatschewski ist eine ihrer Bis heute hat die axiomatische Methode durch Beriihrung mit anderen Ideen Quellen. eine gewaltige Evolution erlebt und nicht nur neue Methoden, sondern auch neue Prinzi pien des physikalischen und des mathematischen Denkens hervorgebracht. Die axiom a tische Methode hat sich in zwei Etappen entwickelt. Die erste reicht von der Entdeckung durch Lobatschewski bis zu den Arbeiten Hilberts tiber die Grundlagen der Mathematik; die zweite von die sen Arbeiten Hilberts bis heute. Die zweite Etappe stellt eine Zusarn menfassung von Ideen aus der Geometrie mit der sich parallel entwickelnden Theorie dar, die uns als "symbolische" oder "mathematische" Logik bekannt ist. Als Ergebnis ent stand eine neue Disziplin, fiir welche die Bezeichnung mathematische Logik beibehalten wurde. Bevor wir auf die mathematische Logik selbst zu sprechen komrnen, betrachten wir kurz den ihr vorausgehenden Stand der axiomatischen Methode und versuchen, wenig stens in den allgemeinsten Ziigen die Griinde fiir die Entstehung dieser Methode und die vor ihr stehenden Aufgaben zu klaren. Das Wesen der axiomatischen Methode besteht in einer spezifischen Weise, mathematische Objekte und Relationen zwischen ihnen zu defi nieren. Beim Studium eines Systems von Objekten irgendwelcher Art verwenden wir be stimrnte Termini, welche die Eigenschaften dieser Objekte und die Relationen zwischen ihnen ausdrticken.

Inhalt

1. Aussagenalgebra.- 1.1. Logische Operationen.- 1.2. Logische Gleichwertigkeit von Formeln.- 1.3. Das Dualitätstheorem.- 1.4. Das Entscheidungsproblem.- 1.5. Darstellung von beliebigen zweiwertigen Funktionen durch Formeln der Aussagenalgebra.- 1.6. Kanonische Normalformen.- 2. Aussagenkalkül.- 2.1. Der Formelbegriff.- 2.2. Definition wahrer Formeln.- 2.3. Das Deduktionstheorem.- 2.4. Einige aussagenlogische Schlußregeln.- 2.5. Monotonie.- 2.6. Äquivalente Formeln.- 2.7. Einige Ableitbarkeitssätze.- 2.8. Formeln in der Aussagenalgebra und im Aussagenkalkül.- 2.9. Widerspruchsfreiheit des Aussagenkalküls.- 2.10. Vollständigkeit des Aussagenkalküls.- 2.11. Unabhängigkeit der Axiome des Aussagenkalküls.- 3. Prädikatenlogik.- 3.1. Prädikate.- 3.2. Quantoren.- 3.3. Mengentheoretische Deutung der Prädikate.- 3.4. Axiome.- 3.5. Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der Axiome.- 3.6. Eineindeutige Abbildung von Individuenbereichen.- 3.7. Isomorphic von Individuenbereichen und Vollständigkeit des Axiomensystems.- 3.8. Axiome der natürlichen Zahlen.- 3.9. Normalformeln und Normalformen.- 3.10. Das Entscheidungsproblem.- 3.11. Einstellige Prädikatenlogik.- 3.12. Endliche und unendliche Individuenbereiche.- 3.13. Entscheidungsfunktionen (Skolemsche Funktionen).- 3.14. Der Satz von Löwenheim.- 4. Der Prädikatenkalkül.- 4.1. Formeln des Prädikatenkalküls.- 4.2. Variablenumbenennung in Formeln.- 4.3. Axiome des Prädikatenkalküls.- 4.4. Regeln zur Bildung wahrer Formeln.- 4.5. Widerspruchsfreiheit des Prädikatenkalküls.- 4.6. Vollständigkeit im engeren Sinne.- 4.7. Einige Sätze des Prädikatenkalküls.- 4.8. Das Deduktionstheorem.- 4.9. Weitere Sätze des Prädikatenkalküls.- 4.10. Äquivalente Formeln.- 4.11. Das Dualitätstheorem.- 4.12.Normalformen.- 4.13. Deduktive Äquivalenz.- 4.14. Skolemsche Normalformen.- 4.15. Beweis des Satzes von Skolem.- 4.16. Der Satz von Mal'cev.- 4.17. Das Vollständigkeitsproblem des Prädikatenkalküls im weiteren Sinne.- 4.18. Bemerkungen zu quantorenfreien Formeln des Prädikatenkalküls.- 4.19. Der Satz von Gödei.- 4.20. Axiomensysteme im Prädikatenkalkül.- 5. Axiomatische Arithmetik.- 5.1. Terme. Der erweiterte Prädikatenkalkül.- 5.2. Eigenschaften des Gleichheitsprädikats und der Funktionsterme.- 5.3. Die Äquivalenzrelation.- 5.4. Das Deduktionstheorem.- 5.5. Die Axiome der Arithmetik.- 5.6. Beispiele für ableitbare Formeln.- 5.7. Rekursionsterme.- 5.8. Eingeschränkte Arithmetik.- 5.9. Rekursive Funktionen.- 5.10. Axiomatische und semantische Ableitbarkeit von Eigenschaften arithmetischer Funktionen.- 5.11. Rekursive Prädikate.- 5.12. Andere Methoden zur Bildung rekursiver Prädikate. Eingeschränkte Quantoren.- 5.13. Verfahren zur Bildung neuer Rekursionsterme.- 5.14. Einige zahlentheoretische Prädikate und Terme.- 5.15. Berechenbare Funktionen.- 5.16. Einige Sätze der axiomatischen Arithmetik.- 6. Elemente der Beweistheorie.- 6.1. Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit von Axiomen.- 6.2. Primfaktoren und prime Summanden.- 6.3. Primitiv wahre Formeln.- 6.4. Die Operationen 1, 2, 3.- 6.5. Reguläre Formeln.- 6.6. Einige Hilfssätze über reguläre Formeln.- 6.7. Duale Operationen zu 1, 2, 3.- 6.8. Eigenschaften der Operationen 1, 2, 3*.- 6.9. Regularität von innerhalb der Arithmetik ableitbaren Formeln.- 6.10. Die Widerspruchsfreiheit der eingeschränkten Arithmetik.- 6.11. Die Unabhängigkeit des Axioms der vollständigen Induktion in der Arithmetik.- 6.12. Ein verschärfter Satz über die Unabhängigkeit des Axioms der vollständigenInduktion.- Literatur.- Namen- und Sachregister.