Boolesche Algebra und ihre Anwendungen

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The Laws of Thought" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden Systems der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of Thought" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders gut eignet.

Klappentext

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The Laws of Thought" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan­ genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden Systems der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of Thought" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat­ sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders gut eignet.

Inhalt

1. Mengenalgebra.- 1.1 Einleitung.- 1.2 Element und Menge.- 1.3 Die Verknüpfung von Mengen.- 1.4 Vennsche Diagramme.- 1.5 Grundgesetze.- 1.6 Polynomentwicklung, Faktorzerlegung, Vereinfachung.- 1.7 Eigenschaften der Inklusion.- 1.8 Bedingungsgleichungen.- 1.9 Lösung von Gleichungen.- 1.10 Die Anzahl der Elemente einer Menge.- 2. Boolesche Algebra.- 2.1 Einleitung.- 2.2 Grundlegende Definitionen.- 2.3 Definition und Eigenschaften einer Booleschen Algebra.- 2.4 Disjunktive Normalform.- 2.5 Konjunktive Normalform.- 2.6 Darstellung einer Booleschen Algebra.- 3. Symbolische Logik und Aussagenalgebra.- 3.1 Einleitung.- 3.2 Aussagen und Definition der Symbole.- 3.3 Wahrheitstafeln.- 3.4 Objektlogik und Syntaxlogik.- 3.5 Materielle Implikation.- 3.6 Wahrheitsbedingungen für Aussagen.- 3.7 Quantifikatoren.- 3.8 Gültige Schlüsse.- 3.9 Indirekte Beweise.- 3.10 Vollständige Systeme von Operationen.- 3.11 Spezielle Probleme.- 4. Schaltalgebra.- 4.1 Einleitung.- 4.2 Definition der algebraischen Symbole.- 4.3 Vereinfachung von Schaltungen.- 4.4 Nicht-Serien-Parallelschaltungen.- 4.5 Entwurf von Schaltungen mit gegebenen Eigenschaften.- 4.6 Entwurf von n-Polschaltungen.- 4.7 Symmetrische Funktionen und ihre Schaltungen.- 5. Relaisschaltungen und Steuerprobleme.- 5.1 Einleitung.- 5.2 Grundlegende Steuerkreise für Relais.- 5.3 n-polige Schaltungen und die Verwendung von Wechselkontakten.- 5.4 Betätigungs- und Haltekreise.- 5.5 Schaltwerke und Zeitdiagramme.- 5.6 Entwurf von Relaisschaltwerken mit vorgegebenen Bedingungen.- 5.7 Spezielle Probleme die auf den Entwurf von Relaisschaltungen führen.- 6. Rechenschaltungen.- 6.1 Einleitung.- 6.2 Das binäre Zahlensystem.- 6.3 Logische Schaltelemente.- 6.4 Addition binärer Zahlen.- 6.5 Subtraktion binärer Zahlen.- 6.6 DerAkkumulator.- 6.7 Binäre Multiplikation.- 7. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung in endlichen Stichprobenräumen.- 7.1 Einleitung.- 7.2 Ereignis, Stichprobenraum, Wahrscheinlichkeit.- 7.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit.- 7.4 Hilfsformeln für das Abzählen.- 7.5 Bernoulli-Versuche, Binomialverteilung.- Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben.- Register.