Analysis für Dummies

Analysis ist Ihnen ein Graus, aber die Klausur steht vor der Tür? Keine Sorge! "Analysis für Dummies" führt Sie an das Thema heran und wiederholt zunächst die Grundlagen von Algebra, Funktionen und Graphen. Anschließend erläutert der Autor die Regeln der Differentialrechnung, die Feinheiten der Kurvendiskussion sowie das Entscheidende zu Grenzwerten und Stetigkeit. Dank zahlreicher Beispiele und Schritt-für-Schritt-Erklärungen werden Sie schon bald zum Experten. So steht der bestandenen Prüfung nichts im Wege.

Autorentext
Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.

Inhalt

Über den Autor 11

Einführung 23

Über dieses Buch 23

Konventionen in diesem Buch 24

Wie Sie dieses Buch einsetzen 24

Törichte Annahmen über den Leser 25

Wie dieses Buch aufgebaut ist 25

Teil I: Analysis - ein Überblick 25

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 25

Teil III: Grenzwerte 26

Teil IV: Differenziation 26

Teil V: Integration und unendliche Reihen 26

Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 27

Wie es weitergeht 27

Teil I: Analysis - ein Überblick 29

Kapitel 1 Was ist Analysis? 31

Was Analysis nicht ist 31

Was also ist Analysis? 32

Beispiele für die Analysis aus der Praxis 34

Kapitel 2 Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 37

Differenziation - Definition 37

Die Ableitung ist eine Steigung 37

Die Ableitung ist eine Änderungsrate 39

Und jetzt zur Integration 40

Unendliche Reihen 41

Divergierende Reihen 42

Konvergierende Reihen 42

Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 45

Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 45

Was passiert beim Vergrößern? 46

Zwei Warnungen - nur zur Vorsicht 49

Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 49

Und was um alles in der Welt bedeutet 'unendlich' eigentlich? 49

Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 51

Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 53

Was Sie über Brüche wissen sollten 53

Ein paar schnelle Regeln 54

Brüche multiplizieren 54

Brüche dividieren 54

Brüche addieren 55

Brüche subtrahieren 58

Brüche kürzen 58

Betrag (Absolutwert) - absolut einfach 60

Potenzen machen stark 61

Zu den Wurzeln der Wurzeln 62

Wurzeln, überall Wurzeln! 62

Wurzeln vereinfachen 63

Logarithmen ... wirklich keine Hexerei 64

Faktorisieren - wer braucht denn so was? 65

Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 65

Die Mustersuche 66

Faktorisierung quadratischer Polynome 67

Quadratische Gleichungen lösen 67

Methode 1: Faktorisieren 67

Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 69

Methode 3: Quadratische Ergänzung 70

Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 73

Was ist eine Funktion? 73

Die definierende Eigenschaft einer Funktion 74

Unabhängige und abhängige Variablen 76

Funktionsnotation 77

Verkettete Funktionen 77

Wie sieht eine Funktion aus? 79

Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 80

Geradeheraus - Geraden in der Ebene 80

Parabel- und Betragsfunktionen - gerade heraus 84

Einige ungerade Funktionen 85

Exponentialfunktionen 85

Logarithmusfunktionen 86

Inverse Funktionen 87

Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 88

Horizontale Transformationen 89

Vertikale Transformationen 90

Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 93

Trigonometrie im Crashkurs 93

Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 95

Das 45 -45 -90 -Dreieck 95

Das 30 -60 -90 -Dreieck 96

Im Einheitskreis gefangen! 97

Winkel im Einheitskreis 98

Winkel im Bogenmaß messen 98

Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 99

Und jetzt das Ganze zusammen 100

Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 102

Inverse trigonometrische Funktionen 104

Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 107

Teil III: Grenzwerte 109

Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 111

Bis an die Grenzen - NEIN 111

Drei Funktionen erklären den Grenzwert 112

Einseitige Betrachtungen 115

Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 116

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 117

Grenzwerte im Unendlichen - haben Sie gute Schuhe an? 119

Die Momentangeschwindigkeit berechnen - mithilfe von Grenzwerten 119

Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 122

Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 123

Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 124

Drei Bedingungen für die Stetigkeit 126

Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 126

Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 129

Einfache Grenzwerte 129

Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 129

Grenzwerte geometrisch bestimmen 130

Einsetzen und Einkochen 131

Die 'echten' Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 132

Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 132

Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 134

Guten Appetit - mit einem Grenzwertsandwich 137

Grenzwerte bei unendlich auswerten 141

Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 143

Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 144

Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 145

Teil IV: Differenziation 147

Kapitel 9 Differenziation - Orientierung 149

Differenziation: Such die Steigung! 150

Die Steigung einer Geraden 153

Die Ableitung einer Geraden 155

Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 155

Analysis auf dem Spielplatz 155

Geschwindigkeit - die uns vertrauteste Änderungsrate 157

Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 158

Die Ableitung einer Kurve 158

Der Differenzenquotient 160

Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 167

Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 168

Kapitel 10 Regeln für die Differenziation -was sein muss, muss sein! 171

Grundlegende Regeln der Differenziation 172

Die Konstantenregel 172

Die Potenzregel 172

Die Faktorregel 174

Die Summenregel - die kennen Sie schon 175

Die Differenzregel - macht kaum einen Unterschied 175

Trigonometrische Funktionen differenzieren 176

Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 176

Differenziationsregeln für Profis - Wir sind die Champions! 178

Die Produktregel 178

Die Quotientenregel 179

Die Kettenregel 181

Implizite Differenziation 186

Logarithmische Differenziation - der Rhythmus macht's 188

Inverse Funktionen differenzieren 189

Ableitungen höherer Ordnung - die Leiter hinabsteigen 191

Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 193

Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 193

Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 194

Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 195

Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 196

Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 196

Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 196

Von nun an geht's bergab! 196

Ihr Reisetagebuch 197

Extremwerte finden 198

Die kritischen Stellen herausleiern 198

Der Test der ersten Ableitung 200

Der Test der zweiten Ableitung - Tests, Tests, Tests! 202

Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 205

Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 208

Krümmung und Wendepunkte bestimmen 210

Die Graphen von Ableitungen - bis zum Abwinken 212

Der Mittelwertsatz - es bleibt einem nichts erspart! 215

Die Regel von L'Hôpital: Analysis für den Notfall 218

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 219

Drei weitere nicht akzeptable Formen 220

Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 223

Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 223

Das maximale Volumen einer Schachtel 224

Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen - Cowboys unter …