Funktionalanalysis und numerische Mathematik

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es möchte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Groß rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehört. Die Funk tionalanalysis ist eine Grundlage für große Teile beider genannten Dis ziplinen, und der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu führen; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.

Inhalt
I Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.- § 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.- § 2. Einige Typen von Räumen.- § 3. Ordnungen.- § 4. Konvergenz und Vollständigkeit.- § 5. Kompaktheit.- § 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Räumen.- § 7. Operatoren in Hilberträumen.- § 8. Eigenwertaufgaben.- § 9. Vektornormen und Matrixnormen.- 10. Weitere Sätze über Vektor- und Matrixnormen.- II Iterative Verfahren.- § 11. Der Fixpunktsatz für das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Räumen.- § 12. Spezialfälle des Fixpunktsatzes und Abänderung des Operators.- § 13. Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- § 14. Gleichungssysteme und Differenzenverfahren.- § 15. Iterationsverfahren bei Differential- und Integralgleichunge n.- § 16. Ableitung von Operatoren in supermetrischen Räumen.- § 17. Aufstellung von Iterationsverfahren.- § 18. Regula falsi.- § 19. Newtonsches Verfahren mit Verschärfungen.- § 20. Monotonie und Extremalprinzipien beim Newtonschen Verfahren.- III Monotonie, Ungleichungen und weitere Gebiete.- § 21. Monotone Operatoren.- § 22. Weitere Anwendungen des Schauderschen Satzes.- § 23. Monotone Art bei Matrizen und Randwertaufgaben.- § 24. Anfangswertaufgaben und weitere Monotoniesätze.- § 25. Approximation von Funktionen.- § 26. Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Austauschverfahren.- Namenverzeichnis.