In der griechischen Mathematik hat man L~ngen, Fl~chen, Volumina durch das Ausschöpfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, daß die Fläche eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlän gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flächenstücken die Flächeninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Fläche ei ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, daß der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) ~ a ~ Inhalt(Ae) für alle eO, so gab man K den Flächeninhalt a. Es ist einfach zu sehen, daß dieser Begriff des Flächeninhalts additiv ist, d. h. es gilt für disjunkte K und K , für die man mittels des Ausschöpfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, daß K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Präzisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro ximation von innen und außen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechtecken.

Inhalt
§1 Vorbereitungen.- §2 Vektorverbände und Funktionale.- §3 Inhalt und Maß.- §4 Der Raum S(A) der A-Treppenfunktionen.- §5 Der Ausdehnungsprozeß.- §6 Die Konvergenzsätze.- §7 RIEMANNsches und LEBESGUEsches Integral. Das Beppo LEVI-Prinzip.- §8 Meßbare Funktionen.- §9 Meßbarkeit bezüglich ?-Algebren.- §10 Der Hauptsatz über die Äquivalenz von Maß- und DANIELL-STONEscher Integrationstheorie.- §11 BAIREsche und BORELsche Mengen. Der Darstellungssatz von F.RIESZ.- §12 Nullmengen.- §13 Produkte von Maßen.- §14 Die LEBESGUEschen Räume ?p.- §15 HILBERT-Räume.- §16 Der Satz von RADON-NIKODYM.- §17 SARDsche Ungleichung und Transformationsformel. Maße auf Hyperflachen.- Anhang: T-stetige Funktionale und BOREL-Maße.- BOURBAKIscher Ausdehnungsprozeß.- Vergleich der beiden Ausdehnungsprozesse.- Regularität ?-stetiger Funktionale.- Satz von KÖLZ0W über die strikte Lokalisierbarkeit.- reguläre BOREL-Maße.- RIESZscher Darstellungssatz.- ein nicht-reguläres BORELmaß.- BORELmaße, bei denen ? als Wert zugelassen ist.- Zusammenhang zwischen den verschiedenen Konvergenzarten.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.