Mathematische Optimierung und mikroökonomische Theorie

Die mikrookonomische Theorie fu~t in wesentlichen Teilen auf Optimie rungskalkUlen. Ein solches KalkUl wird zunachst im Rahmen der Gleich gewichts- bzw. der Ungleichgewichtstheorie fUr die Entscheidungen des einzelnen Wirtschaftsakteurs - des Haushalts oder des Unternehmens unterstellt; darUber hinaus wird es ausgiebig im Rahmen der Wohlfahrts theorie verwandt, mit Hilfe derer man ja auch Aussagen fUr den optima len Einsatz offentlicher Instrumente zu gewinnen hofft. In dem vorliegenden Text stellen wir das diesen mikrookonomischen An wendungen typischerweise zugrunde liegende nicht-lineare Programmie rungsmodell gemeinsam mit Grundelementen der Anwendungen selbst dar. Diese Vorgehensweise hat sich als sinnvoll erwiesen, weil unserer Er fahrung nach im Rahmen eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums mathematische Grundlagen ohne ausfUhrliche Motivation durch Anwendungs beispiele nicht erfolgreich vermittelt werden konnen. Zugunsten einer solchen intensiven Verzahnung zwischen Theorie und Anwendungen beschranken wir uns auf eine ausfUhrliche Darstellung des Grundmodells des nicht-linearen Programmierens bzw. dessen Anwendungen in der statischen deterministischen Mikrotheorie. Erweiterungen, z.B. unter Einbeziehung dynamischer oder stochastischer Aspekte, werden nur im Rahmen von Beispielen vorgenommen. Fur alle diese Erweiterungen ist ohnehin ein Verstandnis der hier behandelten Thematik notwendig. Die Prasentation des nicht-linearen Programmierungsmodells in diesem Text dient in erster Linie dazu, die Vermittlung von Anwendungen in der mikrookonomischen Theorie zu erleichtern. Ziel dieser Theorie ist im gegebenen Zusammenhang die qualitative Charakterisierung optimaler Losungen sowie die Sensitivitatsanalyse. Dementsprechend haben wir nicht versucht, das Programmierungsmodell in seiner allgemeinsten Form zu entwickeln, sondern wahlten eine Darstellung mit Hilfe "schoner" Funktionen.

Klappentext

Die mikrookonomische Theorie fu~t in wesentlichen Teilen auf Optimie­ rungskalkUlen. Ein solches KalkUl wird zunachst im Rahmen der Gleich­ gewichts- bzw. der Ungleichgewichtstheorie fUr die Entscheidungen des einzelnen Wirtschaftsakteurs - des Haushalts oder des Unternehmens unterstellt; darUber hinaus wird es ausgiebig im Rahmen der Wohlfahrts­ theorie verwandt, mit Hilfe derer man ja auch Aussagen fUr den optima­ len Einsatz offentlicher Instrumente zu gewinnen hofft. In dem vorliegenden Text stellen wir das diesen mikrookonomischen An­ wendungen typischerweise zugrunde liegende nicht-lineare Programmie­ rungsmodell gemeinsam mit Grundelementen der Anwendungen selbst dar. Diese Vorgehensweise hat sich als sinnvoll erwiesen, weil unserer Er­ fahrung nach im Rahmen eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums mathematische Grundlagen ohne ausfUhrliche Motivation durch Anwendungs­ beispiele nicht erfolgreich vermittelt werden konnen. Zugunsten einer solchen intensiven Verzahnung zwischen Theorie und Anwendungen beschranken wir uns auf eine ausfUhrliche Darstellung des Grundmodells des nicht-linearen Programmierens bzw. dessen Anwendungen in der statischen deterministischen Mikrotheorie. Erweiterungen, z.B. unter Einbeziehung dynamischer oder stochastischer Aspekte, werden nur im Rahmen von Beispielen vorgenommen. Fur alle diese Erweiterungen ist ohnehin ein Verstandnis der hier behandelten Thematik notwendig. Die Prasentation des nicht-linearen Programmierungsmodells in diesem Text dient in erster Linie dazu, die Vermittlung von Anwendungen in der mikrookonomischen Theorie zu erleichtern. Ziel dieser Theorie ist im gegebenen Zusammenhang die qualitative Charakterisierung optimaler Losungen sowie die Sensitivitatsanalyse. Dementsprechend haben wir nicht versucht, das Programmierungsmodell in seiner allgemeinsten Form zu entwickeln, sondern wahlten eine Darstellung mit Hilfe "schoner" Funktionen.

Inhalt
I. Einleitung.- I.1 Mathematische Modelle in der Volkswirtschaftslehre.- I.2 Mathematische Optimierung und Wirtschaftstheorie.- I.3 Das Optimierungsproblem.- I.4 Übungen.- II. Einige Grundbegriffe der Mikroökonomischen Theorie.- II.1 Güter, Akteure.- II.2 Haushaltstheorie.- II.3 Produktionstheorie.- II.4 Wohlfahrtstheorie.- III. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu Optimierungsproblemen.- III.1 Existenz von Lösungen zu Optimierungsproblemen.- III.2 Eindeutigkeit von Lösungen zu Optimierungsproblemen.- III.3 Menge der Vektoroptima.- IV. Charakterisierung von Lösungen zu Optimierungsproblemen.- IV.1 Lagrangefunktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen: Ein Beispiel.- IV.2 Theorie der Kuhn-Tucker-Bedingungen.- IV.3 Anwendungen auf die Haushaltstheorie.- IV.4 Anwendungen auf die Produktionstheorie.- IV.5 Anwendungen auf die Wohlfahrtstheorie.- V. Sensitivit?tsanalyse.- V.1 Sensitivit?tsanalyse: Theorie.- V.2 Komparative Statik in der Haushaltstheorie.- V.3 Komparative Statik in der Produktionstheorie.- Anhang A.- A.1 Notation.- A.2 Liste der Verwendeten Abkürzungen.- A.3 Liste der in Ökonomischen Anwendungen Benutzten Symbolik.- A.4 Liste der in Ökonomischen Anwendungen Benutzten Annahmen.- A.5 Liste Der Wichtigsten Optimierungsprobleme der Mikroökonomie.- Anhang B.- B.1 Mengen und Funktionen.- B.2 Lineare Strukturen.- B.2.1 Vektoren.- B.2.2 Matrizen.- B.2.3 Determinanten.- B.2.4 Konvexe Mengen.- Literatur.- B.3 Analysis.- B.3.1 Grundbegriffe der Topologie.- B.3.2 Differentialrechnung.- B.3.3 Konkave, konvexe und homogene Funktionen.- B.3.4 Extremwerte.- Literatur.- Anhang C: Beweise zu den Kapiteln III V.- C.l Beweise zu Kapitel III.- C.2 Beweise zu Kapitel IV.- C.3 Beweise zu Kapitel V.