Konvexe Mengen

Die Theorie der konvexen Mengen stellt insofern eine besonders reizvolle mathe matische Disziplin dar, als es in ihrem Rahmen moglich ist, aus wenigen, anschau lich unmittelbar einsichtigen Voraussetzungen geometrisch wie analytisch in glei cher Weise wichtige SchluBfolgerungen herzuleiten. Es erscheint daher nicht ver wunderlich, daB es dem interessierten Laien hierbei schneller als bei anderen mathe matischen Gebieten gelingen diirfte, sich einzuarbeiten und zu den Gegenstanden aktueller Forschung vorzustoBen. Eine Hilfestellung hierzu zu geben ist das Ziel dieses Buches. Es will kein neuer Ergebnisbericht im Stil des klassischen Werkes von BONNESEN-FENCHEL [3], sondern eine Einfiihrung in die Theorie der konvexen Untermengen eines affinen bzw. euklidischen Raumes sein. Urn diesem Anspruch gerecht zu werden, wurde besonderer Wert darauf gelegt, die behandelten Gegenstande so ausfiihrlich und vollstandig wie moglich darzustellen. Dies hatte bei dem begrenzten Umfang des Buches natiirlich eine zugegebener maBen subjektive Stoffauswahl zur Folge, in welcher die Inhaltslehre und die Symmetrisierung konvexer Mengen eine bevorzugte Rolle spielen. Die diesbeziig lichen Uberlegungen gipfeln im Nachweis der Giiltigkeit der verallgemeinerten Ungleichungen von BRUNN-MINKOWSKI nebst Gleichheitsdiskussion. Dagegen wurde auf eine eingehendere Behandlung der Theorie der konvexen Polytope verzichtet; diese findet sich in den Lehrbiichern von B. GRUNBAUM [7] und McMuL LEN -SHEPHARD [1]. Weiter blie ben funktionalanalytische Verallgemeinerungen auBer Betracht; in diesem Zusammenhang sei der Leser auf das Buch von F. VALEN TINE [2] verwiesen. Auch auf Fragen iiber konvexe Korper mit Gitterpunkten, die in letzter Zeit durch Arbeiten von H. HADWIGER und J.

Inhalt
I. Geometrische Eigenschaften konvexer Mengen.- § 1. Grundlegende Begriffe.- § 2. Konvexe Hülle, Sätze von Carathéodory und Radon.- § 3. Trennungs- und Stützeigenschaften.- § 4. Extremelemente, Sätze von Krein-Milman und Straszewicz.- § 5. Konvexe Polytope und polyedrische Mengen.- § 6. Konvexe Kegel, Dualität.- § 7. Der Satz von Helly und Anwendungen.- § 8. Linearkombination, Differenz und kartesisches Produkt.- § 9. Geometrische Kennzeichnungen der Konvexität.- II. Analytische Darstellung konvexer Mengen.- § 10. Konvexe Funktionen.- § 11. Distanzfunktion abgeschlossener konvexer Körper. Minkowskische Geometrie.- § 12. Stützfunktion kompakter konvexer Mengen.- § 13. Stützelemente kompakter konvexer Körper.- III. Funktionale kompakter konvexer Mengen.- § 14. Hausdorff-Topologie und Approximationseigenschaften kompakter konvexer Mengen.- § 15. Volumen von Linearkombinationen kompakter konvexer Mengen, gemischtes Volumen.- § 16. Quermaßintegrale kompakter konvexer Mengen.- § 17. Skalarwertige und vektorwertige Funktionale.- IV. Symmetrisierung.- § 18. Die Steinersche Symmetrisierung kompakter konvexer Mengen.- § 19. Die Schwarzsehe Abrundung kompakter konvexer Mengen.- § 20. Zentralsymmetrisierung.- V. Ungleichungen in der Theorie der konvexen Mengen.- § 21. Die Sätze von Brunn-Minkowski und Busemann.- § 22. Extremumprobleme und Ungleichungen von Minkowski.- § 23. Die quadratische Ungleichung von A. D. Aleksandrow.- § 24. Der verallgemeinerte Satz von Brunn-Minkowski mit Anwendungen.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.