Geometrie Anschauung und Begriffe

Dieses Buch behandelt die Geometrie des Anschauungsraums in allen ihren Aspekten. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik geht es darum, das Verborgene auf das Offensichtliche zurückzuführen; die Besonderheit der Geometrie ist, dass das Offensichtliche manchmal im wörtlichen Sinne vor Augen liegt.Ausgehend von der Anschauung werden räumliche Konzepte in das bereits vorhandene mathematische Gerüst der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung zur mathematisch exakten Sprache ist selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit soll eine oft beklagte Verstehenslücke geschlossen werden, die sich zwischen der anschaulichen Vorschul- und Schul- Geometrie und den abstrakten Begriffen der Linearen Algebra und Analysis auftut. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklärt wurde.Die Begriffe der Geometrie sind von ganz unterschiedlicher Natur; sie bezeichnen sozusagen verschiedene Schichten geometrischen Denkens: Manche Argumente verwenden nur Begriffe wie Punkt, Gerade und Inzidenz, andere benötigen Winkel und Abstände, wieder andere Symmetrie-Überlegungen. Jedes dieser Begriffsfelder bestimmt ein eigenes Teilgebiet der Geometrie und ein eigenes Kapitel dieses Buches, mit Ausnahme des letztgenannte Begriffsfelds "Symmetrie", das alle anderen durchzieht: - Inzidenz: Projektive Geometrie - Parallelität: Affine Geometrie - Winkel: Konforme Geometrie - Abstand: Metrische Geometrie - Krümmung: Differentialgeometrie - Winkel als Abstandsmaß: Sphärische und Hyperbolische Geometrie - Symmetrie: Abbildungsgeometrie.Die im Anschauungsraum erworbene mathematische Erfahrung lässt sich ohne Mühe mit Hilfe des Vektorraum-Begriffs auf sehr viel abstraktere Situationen übertragen. Die Verallgemeinerungen über die Anschauung hinausweisen in zwei Richtungen: Erweiterung des Zahlbegriffs und Überschreiten der drei anschaulichen Dimensionen.

Autorentext
Prof. Dr. Jost-Hinrich Eschenburg, Universität Augsburg, Institut für Mathematik

Klappentext

Dieses Buch behandelt die Geometrie unseres Anschauungsraums in allen Aspekten. Ausgehend von der Anschauung werden räumliche Konzepte in das aus dem Grundstudium bekannte mathematische Gerüst der Linearen Algebra und der Analysis eingebettet. Der Weg von der Anschauung über die Idee hin zu einer mathematisch exakten Sprache ist dabei selbst Lerninhalt dieses Buches. Damit schließt es die Verständnislücke zwischen der konkreten Schulgeometrie und den abstrakten Begriffen der Hochschulmathematik. Zugleich werden damit anschaulich-geometrische Argumentationsweisen gerechtfertigt, weil ihre Einbettung in die strenge mathematische Sprache geklärt wird, und ihr Anwendungsbereich wird weit über den Anschauungsraum hinaus erweitert. Die im einzelnen behandelten Begriffsfelder dieses Buchs sind:

• Inzidenz: Projektive Geometrie

  • Parallelität: Affine Geometrie

• Winkel: Konforme Geometrie

• Abstand: Metrische Geometrie

• Krümmung: Differentialgeometrie

• Winkelabstand: Sphärische und Hyperbolische Geometrie

• Symmetrie: Abbildungsgeometrie

Das Buch ist eine ideale Begleitung durch die Geometrie für Lehramtstudierende, aber auch andere Mathematik-Interessierte profitieren von den anschaulichen Erläuterungen.

Der Autor

Jost-Hinrich Eschenburg ist Professor Emeritus an der Universität Augsburg.

Inhalt

Was ist Geometrie .- Parallelität: Affine Geometrie .- Von der affinen Geometrie zur Linearen Algebra.- Definition des affinen Raums.- Parallelentreue und semiaffine Abbildungen.- Parallelprojektionen.- Affine Koordinaten und Schwerpunkt.- Inzidenz: Projektive Geometrie .- Zentralperspektive.- Fernpunkte und Projektionsgeraden.- Projektiver und affiner Raum.-Semiprojektive Abbildungen und Kollineationen.- Kegelschnitte und Quadriken; Homogenisierung.- Die Sätze von Desargues und Brianchon.- Dualität und Polarität; Satz von Pascal.- Das Doppelverhältnis.- Abstand: Euklidische Geometrie .- Der Satz des Pythagoras.- Isometrien des euklidischen Raums.- Klassifikation von Isometrien.- Platonische Körper.- Symmetriegruppen von platonischen Körpern.- Endliche Drehgruppen und Kristallgruppen.- Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte.- Krümmung: Differentialgeometrie .- Glattheit.- Fundamentalformen und Krümmungen.- Charakterisierung von Sphären und Hyperebenen.- Orthogonale Hyperflächensysteme.- Winkel: Konforme Geometrie .- Konforme Abbildungen.- Inversionen.- Konforme und kugeltreue Abbildungen.- Die stereographische Projektion.- Der Raum der Kugeln.- Winkelabstand: Sphärische und Hyperbolische Geometrie . Der hyperbolische Raum. Abstand auf der Sphäre und im hyperbolischen Raum. Modelle der Hyperbolischen Geometrie.- Übungen .- Lösungen .

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