VI 1m 3. Kapitel werden Regelkreise, die in einer speziellen Standardform vorliegen, mit funktionalanalytischen Methoden auf Stabilitat untersucht, wobei zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelkreise gemeinsam behan delt werden. Hierbei werden die Begriffe der L - und der L~-Stabilitat Z eingeftihrt. Die Lz-Stabilitat ftihrt unter anderem auf das Kreiskriterium und das Popov-Kriterium, wahrend mit der L~-Stabilitat betragsma~ige Abschatzungen der Systemgro~en gewonnen werden konnen, was ftir prakti sche Anwendungen besonders zweckdienlich ist. Die aufgeftihrten Satze gestatten tiber die Stabilitat hinaus auch Aussagen tiber den Stabilitats grad von Regelkreisen. Das Kreiskriterium wird auch ftir Mehrgro~enregel kreise entwickelt. Die Untersuchung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen mit Methoden im Zustandsraum findet der Leser im 4. Kapitel. Ausftihrlich wird die direkte Methode von Ljapunov behandelt, wobei ein wesentlicher Ge sichtspunkt die Bestimmung des Einzugsbereichs einer asymptotisch stabi len Ruhelage ist. Die nichtlinearen Zustands- und Parameterschatzverfah ren werden nur in dem Rahmen behandelt, wie diese beim Entwurf von Regel kreisen oder in technischen Diagnosesystemen gegenwartig Verwendung fin den. Die Regelkreisentwurfsverfahren in den letzten Abschnitten beruhen fast ausschlie~lich auf der erweiterten Ljapunov-Methode, da andere auf diesem Gebiet in der Literatur vorgeschlagene Verfahren zu keinen besse ren Ergebnissen ftihren und in der Durchftihrung des Entwurfs komplizier ter sind.

Inhalt
1 Einführende Betrachtungen und nichtlineare Modelle.- 1.1 Einleitung.- 1.2 Beispiele nichtlinearer Systeme.- 1.3 Ruhelagen, Arbeitspunkte und deren Stabilität.- 1.4 Das exakte nichtlineare Modell der Änderungen um einen Arbeitspunkt.- 1.5 Linearisierung eines nichtlinearen Systems.- 1.6 Systeme 2. Ordnung in der Zustandsebene.- 1.7 Verbesserung der Dynamik von Regelkreisen mit Stellgrößenbeschränkung durch anti-reset-windup (ARN)..- 2 Periodisches Verhalten von nichtlinearen Systemen.- 2.1 Geschlossene Trajektorien und deren Stabilität.- 2.2 Nichtlineare Systeme 2. Ordnung.- 2.3 Die Methode der Harmonischen Balance.- 2.4 Korrekturglieder zur Erzeugung, Unterdrückung bzw. Verminderung der Amplitude von Grenzschwingungen.- 3 Funktionalanalytische Methoden zur Stabilitätsuntersuchung nichtlinearer Systeme.- 3.1 Grundlagen.- 3.2 Kreiskriterium (L2-Stabilität).- 3.3 Kreiskriterium für Mehrgrößensysteme (L2n-Stabilität).- 3.4 Modifikationen des Kreiskriteriums.- 3.5 L?-Stabilität.- 4 Analyse und Synthese von Regelkreisen im Zustandsraum.- 4.1 Einführende Betrachtungen zu nichtlinearen Zustandsmodellen.- 4.2 Einfache Stabilitätskriterien.- 4.3 Die direkte Methode von Ljapunov.- 4.4 Nichtlineare Parameter- und Zustandsschätzung.- 4.5 Pulsbreitenmodulierte Regelungssysteme.- 4.6 Entwurf nichtlinearer Regelkreise.- 5 Adaptive Systeme.- 5.1 Einführung.- 5.2 Allgemeine Beziehungen zur Berechnung der Reglerparameter bei bekannter Regelstrecke und vorgegebenem Regelkreis-verhalten.- 5.3 Self-Tuning-Regler.- 5.4 Konvergenzbetrachtungen bei Self-Tuning-Regelkreisen.- 5.5 Zeitkontinuierliche MRAS-Strukturen.- 5.6 Zeitdiskrete MRAS-Strukturen.- 5.7 Schätzung der Drehzahl einer konstant erregten Gleichstrommaschine mit einer MRAS-Struktur bei Messung vonAnkerstrom und Ankerspannung.- 5.8 Abschließende Bemerkungen.- Al Mathematische Grundlagen gewöhnlicher Differentialgleichungen.- A1.1 Bezeichnungen.- A1.2 Problemstellung und Definitionen.- A1.3 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.- A1.4 Gronwall-Ungleichung.- A1.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Lösung bezüglich der Anfangswerte und eventueller Parameter.- A2 Funktionaltransformationen.- A2.1 Fourier- und Laplace-Transformation.- A2.2 Diskrete Fourier-Transformation, Fourier-Reihen und Z-Transformation.- A2.3 Zusammenhänge zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Funktionen.- A2.3.1 Zeitkontinuierliche und abgetastete Funktionen im Fourier-Bereich.- A2.3.2 Zusammenhänge zwischen Fourier- und diskreter Fouriertransformation sowie zwischen Laplace- und Z-Transformation.- A3 Hilfsmittel der Funktionalanalysis.- A3.1 Einige Begriffe aus der Funktionalanalysis.- A3.2 Spezielle Funktionenräume.- A3.3 Faltungsoperatoren.- A3.4 Matrixnormen.- A4 Zustandsregler-Beobachter-Entwurf bei linearen Regelstrecken.- A4.1 Der Zustandsregler.- A4.2 Der dynamische Zustandsregler.- A4.3 Kürzung von Nullstellen der Regelstrecke.- A5 Grundlagen der Stochastik.- A5.1 Grundbegriffe.- A5.2 Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen.- A5.3 Die Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte.- A5.4 Der Erwartungswert.- A5.5 Die Momente einer Verteilung.- A5.6 Zufallsgrößen.- A5.7 Zufallsvektoren.- A5.8 Zufallsprozesse.- A5.9 Weiße Zufallsprozesse.- A5.10 Stochastische Eigenschaften von Parameterschätzverfahren.- A6 Parameterschätzverfahren.- A6.1 Die Methode der kleinsten Quadrate (MKQ).- A6.1.1 Allgemeine nichtrekursive Schätzgleichung.- A6.1.2 Parameteridentifikation bei linearen Systemen.- A6.1.3 Rekursive Schätzgleichung.- A6.1.5 Rekursive Schätzgleichung beiexponentieller Wichtung der Meßdaten.- A6.1.6 Rekursive Methode der kleinsten Quadrate bei korreliertem Störprozeß.- A6.1.7 Umformung eines rekursiven MKQ-Algorithmus zur Verminderung des Rechenaufwandes.- A6.1.8 Schwierigkeiten bei der Schätzung von Parametern linearer zeitdiskreter Systeme.- A6.2 Die Methode der Instrumentellen Variablen (IV-Methode).- A6.3 Das Matrizeninversionslemma.- A7 Positive dynamische Systeme.- A7.1 Zeitkontinuierliche positive Systeme.- A7.2 Zeitdiskrete positive Systeme.- A8 Hyperstabilität.- A8.1 Zeitkontinuierliche Regelkreise.- A8.2 Zeitdiskrete Regelkreise.- A8.3 Eigenschaften von Systemen der Klasse P bzw. P?.- Literatur.