Maß und Kategorie

Dieses Buch behandelt hauptsächlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel für Existenzbeweise sowie Die "Dualität" zwischen Maß und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erläutert; die Analogie, die zwischen Maß und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einführung in die Grundlagen der metrischen Topologie; außerdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Maßes hergeleitet. Es zeigt sich, daß die Lebesguesche Integrationstheorie für unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern daß das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Maßtheorie und Topologie eingeführt; dies geschieht jedoch nicht nur der größeren Allgemeinheit wegen. Es erübrigt sich fast zu erwähnen, daß sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Für die hier untersuchten Probleme bietet sich in natürlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einführung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man könnte es als Ergänzung zur üblichen Grundvorlesung über reelle Analysis, als Grundlage für ein Se minar oder auch zum selbständigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch aufVollständigkeit. Häufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.

Inhalt
1: Maß und Kategorie auf der Zahlengeraden Abzählbare Mengen; Mengen von 1. Kategorie; Nullmengen; die Sätze von CANTOR, BAIRE und BOREL.- 2: Liouvillesche Zahlen Algebraische und transzendente Zahlen; Maß und Kategorie der Menge der Liouvilleschen Zahlen.- 3: Das Lebesguesche Maß im r-dimensionalen Raum Definitionen und grundlegende Eigenschaften; meßbare Mengen; der Dichtesatz von LEBESGUE.- 4: Die Bairesche Eigenschaft Analogie zwischen Bairescher Eigenschaft und Meßbarkeit; Eigenschaften regulär offener Mengen.- 5: Nicht-meßbare Mengen Vitalische Mengen; Bernsteinsche Mengen; Satz von ULAM; unerreichbare Kardinalzahlen; die Kontinuumhypothese.- 6: Das Spiel von BANACH-MAZUR Gewinnstrategien; Kategorie und lokale Kategorie; Spiele mit unbestimmtem Ausgang.- 7: Funktionen erster Klasse Oszillation; der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen; Integrierbarkeit im Riemannschen Sinne.- 8: Die Sätze von LUSIN und EGOROFF Stetigkeit meßbarer Funktionen; Stetigkeit von Funktionen mit der Baireschen Eigenschaft; gleichmäßige Konvergenz auf Teilmengen.- 9: Metrische und topologische Räume Definitionen; vollständige und topologisch vollständige Räume; der Kategorie-Satz von BAIRE.- 10: Beispiele für metrische Räume Metrik der gleichmäßigen Konvergenz und Integral-Metrik in Räumen stetiger Funktionen; integrierbare Funktionen; pseudo-metrische Räume; der Raum der meßbaren Mengen.- 11: Nirgends differenzierbare Funktionen Banach's Anwendung der Kategorie-Methode.- 12: Der Satz von ALEXANDROFF Ummetrisierung einer G?-Teilmenge; topologisch vollständige Teilräume.- 13: Transformation von linearen Mengen in Nullmengen Der Raum der Automorphismen eines Intervalls; der Effekt einer monotonen Substitution auf die Riemann-Integrierbarkeit; Äquivalenz vonNullmengen und Mengen von 1. Kategorie.- 14: Der Satz von FUBINI Meßbarkeit und Maß von Schnitten ebener meßbarer Mengen.- 15: Der Satz von KURATOWSKI-ULAM Schnitte von ebenen Mengen mit der Baireschen Eigenschaft; Produktmengen; Zurückführbarkeit auf den Satz von FUBINI vermöge einer Produkttransformation.- 16: Der Kategorie-Satz von BANACH Offene Mengen von 1. Kategorie oder vom Maß 0; das Lemma von MONTGOMERY; die Sätze von MARCZEWSKI und SIKORSKI; Kardinalzahlen vom Maß 0; Zerlegung in eine Nullmenge und in eine Menge von 1. Kategorie.- 17: Der Wiederkehrsatz von POINCARÉ Maß und Kategorie der Menge aller Punkte, die rekurrent unter einer konservativen Transformation sind; Anwendung auf dynamische Systeme.- 18: Transitive Transformationen Existenz transitiver Automorphismen des Einheitsquadrats; die Kategorie-Methode.- 19: Der Dualitätssatz von SIERPINSKI-ERDÖS Ähnlichkeiten zwischen der Familie der Nullmengen und der Familie der Mengen von 1. Kategorie; das Dualitätsprinzip.- 20: Beispiele für Dualität Eigenschaften Lusinscher Mengen und die dazu dualen Eigenschaften; Mengen, die fast-invariant unter Nullmengen- oder Kategorie-treuen Abbildungen sind.- 21: Das erweiterte Dualitätsprinzip Ein Gegenbeispiel; Produktmaß und Produkträume; das Null-Eins-Gesetz und sein Kategorie-Analogon.- 22: Kategorie-Maßräume Räume, in denen die Nullmengen mit den Mengen von 1. Kategorie identisch sind; Topologien, die von unteren Dichten erzeugt werden; die Lebesguesche Dichte-Topologie.