Quasikonforme Abbildungen

Die Theorie der quasikonformen Abbildungen gehOrt gegenwartig zu einem der modernsten Forschungszweige innerhalb der Analysis bzw. der Funktionentheorie. Aus diesem Grunde ist es sieher gegeben, fiber dieses Gebiet eine Zusammenfassung in Form eines Ergebnisbandes zu schrei ben. DaB aber bei einer ersten derartigen Darstellung verschiedene Schwierigkeiten zu fiberwinden sind, nicht zuletzt auch in rein didakti scher Hinsicht, stellt sich wahrend der Bearbeitung eines solchen Stoffes Ofters heraus. So hat es sich unter anderem a1s recht heikel erwiesen, schon nur die verschiedenen Definitionen, welche fiber quasikonforme Abbildungen existieren, auf einen einigermaBen gleichen Nenner zu bringen. Da neben einer russischen Darstellung (VOLKOVYSKIJ [2]) fiber das vorliegende Forschungsgebiet noch keinerlei Lehrbficher existieren, habe ich besonders Wert darauf gelegt, an einigen Stellen etwas tiefer in die Beweisverfahren einzudringen, als dies ublicherweise in der vorliegenden Reihe der Ergebnishefte der Fall ist. In verdankenswerter Weise hat mir Herr A. TEBLING verschiedene russische Arbeiten ins Deutsche ubersetzt, wodurch es mir ermoglicht wurde, auch die sonst nur schwer zugangliche russische Literatur zu berucksichtigen. Neben dem hier dargestellten zweidimensionalen Fall beschaftigt sich die neueste Forschung auch schon mit dem Studium der quasikonformen Abbildungen in hoherdimensionalen Raumen; doch befindet sich diese Untersuchung noch derart im Flusse, daB eine zusammenhangende Dar stellung daruber heute noch nicht moglich ist; in einem Nachtrag wird lediglich auf einige der jungsten Ergebnisse hingewiesen. Ich erachte es als eine besonders angenehme Pflicht, an verschiedene Adressen meinen herzlichsten Dank zu rich ten. An erster Stelle danke ich meinen Lehrern der Funktionentheorie, den Herren Professoren R.

Inhalt

1. Kapitel. Über konforme Abbildungen.- 1.1. Einleitung.- 1.2. Definition eines Ringgebietes.- 1.3. Modulabschätzungen.- 1.4. Eine Beziehung zwischen dem Modul und dem logarithmischen Flächeninhalt.- 1.5. Monotonieeigenschaft des Moduls.- 1.6. Der reduzierte Modul.- 1.7. Reduzierter Modul und reduzierter logarithmischer Flächeninhalt.- 1.8. Weitere Sätze über den reduzierten Modul.- 1.9. Das Normalgebiet.- 1.10. Das Normalgebiet.- 1.11. Das Normalgebiet.- 1.12. Die Funktion v(r).- 1.13. Der Modul eines Vierecks.- 1.14. Moduln und extremale Längen.- 1.15. Dirichlet-Integral und Modul.- 1.16. Die beiden Teichmüllerschen Modulsätze.- 1.17. Anwendung der Modulsätze.- 2. Kapitel. Quasikonforme Homöomorphismen nach der Definition.- 2.1. Stetige und stetig differenzierbare Abbildungen.- 2.2. Lokale Eigenschaften des Dilatationsquotienten.- 2.3. Definition der K-quasikonformen Abbildungen nach.- 2.4. Funktionentheoretische Anwendungen.- 2.5. Einfache Beispiele für K-quasikonforme Homöomorphismen.- 2.6. Die Ungleichung.- 2.7. Der Teichmüller-Wittichsche Verzerrungssatz.- 2.8. Satz.- 2.9. Satz.- 2.10. Eine Verallgemeinerung der Ungleichung.- 2.11. Punktmengen der Kapazität Null.- 2.12. Die Robinsche Konstante.- 2.13. Durchmesser und Kapazität.- 2.14. Über die Koebesche Konstante.- 2.15. Der Ahlforssche Verzerrungssatz.- 2.16. Ein Teichmüllersches Extremalproblem.- 2.17.Grötzschsche Extremalprobleme.- 2.18. Ränderzuordnung.- 3. Kapitel. A nwendungen quasikonformer Abbildungen in der Funktionentheorie.- 3.1. Das Typenproblem.- 3.2. Wertverteilungsprobleme.- 3.3. Der Streckenkomplex.- 3.4. Die Uniformisierung.- 3.5. Über den Maximalbetrag einiger ganzen transzendenten Funktionen.- 3.6. Die Lage der ?-Stellen.- 3.7. Beispiele.- 4. Kapitel. AllgemeineK-quasikonforme Homöomorphismen.- 4.1. Neue Definitionen.- 4.2. K-quasikonforme Homöomorphismen gemäß einer analytischen Definition.- 4.3. K-quasikonforme Homöomorphismen gemäß einer geometrischen Definition.- 4.4. Äquivalenzsatz.- 4.5. Satz.- 4.6. Beweis des Satzes.- 4.7. Satz.- 4.8. Nachweis für A G.- 4.9. Satz.- 4.10. Die quasikonformen Homöomorphismen nach.- 4.11. Satz.- 4.12. Sätze über K-quasikonforme Homöomorphismen.- 5. Kapitel. K-quasikonforme Abbildungen.- 5.1. Die innere Abbildung.- 5.2. Definition der K-quasikonformen Abbildungen.- 5.3. Beltramische Differentialgleichung.- 5.4. Einige Sätze über allgemeine K-quasikonforme Abbildungen.- 5.5. Normale Familien von K-quasikonformen Abbildungen.- 5.6. Das Maximumprinzip und das Spiegelungsprinzip.- 5.7. Die Picard-Liouvillesche Satzgruppe.- 5.8. Ringeigenschaften der quasikonformen Abbildungen.- 5.9. Übertragung eines Satzes.- 5.10. Invariante Klassen Riemannscher Flächen bei quasikonformen Abbildungen.- 5.11. Die Nevanlinnaschen Hauptsätze für quasimeromorphe Funktionen.- 6. Kapitel. Quadratische Differentiale und extremale quasikonforme Abbildungen.- 6.1. Die Teichmüllersche Formulierung.- 6.2. Problemstellung.- 6.3. Problem A.- 6.4. Problem B.- 6.5. Die formale Lösung.- 6.6. Theorem 1.- 6.7. Die Extremaleigenschaft.- 6.8. Die quasikonformen Abbildungen im Mittel.- 6.9. Infinitesimale Deformationen.- 6.10. Ein Variationsproblem.- 6.11. Existenzbeweis nach.- 6.12. Der Existenzbeweis nach.- 6.13. Vollständige Lösung einer Extremalaufgabe der quasikonformen Abbildung.- 6.14. Teichmüller-Räume.- 7. Kapitel. Quasikonforme Abbildungen,Differentialgleichungen undpseudoanaly- tische Funktionen.- 7.1. Überblick.- 7.2. Das Darstellungstheorem.- 7.3. Nullstellen.- 7.4. DasDirichlet-Problem.- 7.5. Verallgemeinerter Riemannscher Abbildungssatz.- 7.6. Die pseudoanalytischen Funktionen.- 7.7. Eigenschaften pseudoanalytischer Funktionen.- 7.8. Lavrentieffs Fundamentaltheorem für quasikonforme Abbildungen.- 7.9. Lavrentieflscher Abbildungssatz.- Nachtrag.- Namen- und Sachverzeichnis.