Eine neue Einführung in die statistischen und mathematischen Methoden der Quantentheorie

In vielen Bereichen der theoretischen Physik spielt die Struktur "reelle Mannigfaltigkeit" eine hervorragende Rolle. Dies wird deut lich, wenn man an die Bedeutung der Tensorrechnung denkt, die eigentlich nur eine bequeme Rechentechnik fUr reelle differenzier bare Mannigfaltigkeiten ist. Es solI bier der Frage nachgegangen werden, welche Eigenschaften physikalischer Messungen die Ver wendung der genannten mathematischen Struktur verursachen. Wenn man fragt, was man bei einem physikalischen Versuch macht, kann man im allgemeinen feststellen: Es wird ein Gerat gebaut. Dieses Gerat hat Skalen, und eine Messung besteht in der Regel da rin, die Skalenwerte abzulesen. Urn ein konkretes Beispiel vor Au gen zu haben, denke man an eine Spannungsmessung. Wenn man versucht, einen kleinen Schritt tiber das reine Ablesen des Mef. \in struments hinauszugehen, erkennt man, da6 die Beschreibung die ser physikalischen Messung darin besteht, die abgelesene Zahl (Spannungsdifferenz) den beiden Punkten zuzuordnen, zwischen denen die Spannung gemessen wird. Man kann auch davon sprechen, da6 diese Zahl der Kurve (dem Drahtstiick) zugeordnet wird, die von den beiden Punkten berandet wird. Man kann auch Spannungs messungen an geschlossenen Drahtschleifen machen, indem die in duzierte Umlaufspannung gemessen wird. Dann lait sich diese physi kalische Messung betrachten als Zuordnung einer Zahl (induzierte Umlaufspannung) zu einer Flache oder dem Rand der Flache. Auch bei anderen Messungen besteht die Beschreibung der physikalischen Messungen in der Zuordnung abgelesener Skalengro~en (Zahlen) zu einem Raumgebiet.

Klappentext

In vielen Bereichen der theoretischen Physik spielt die Struktur "reelle Mannigfaltigkeit" eine hervorragende Rolle. Dies wird deut­ lich, wenn man an die Bedeutung der Tensorrechnung denkt, die eigentlich nur eine bequeme Rechentechnik fUr reelle differenzier­ bare Mannigfaltigkeiten ist. Es solI bier der Frage nachgegangen werden, welche Eigenschaften physikalischer Messungen die Ver­ wendung der genannten mathematischen Struktur verursachen. Wenn man fragt, was man bei einem physikalischen Versuch macht, kann man im allgemeinen feststellen: Es wird ein Gerat gebaut. Dieses Gerat hat Skalen, und eine Messung besteht in der Regel da­ rin, die Skalenwerte abzulesen. Urn ein konkretes Beispiel vor Au­ gen zu haben, denke man an eine Spannungsmessung. Wenn man versucht, einen kleinen Schritt tiber das reine Ablesen des Mef. \in­ struments hinauszugehen, erkennt man, da6 die Beschreibung die­ ser physikalischen Messung darin besteht, die abgelesene Zahl (Spannungsdifferenz) den beiden Punkten zuzuordnen, zwischen denen die Spannung gemessen wird. Man kann auch davon sprechen, da6 diese Zahl der Kurve (dem Drahtstiick) zugeordnet wird, die von den beiden Punkten berandet wird. Man kann auch Spannungs­ messungen an geschlossenen Drahtschleifen machen, indem die in­ duzierte Umlaufspannung gemessen wird. Dann lait sich diese physi­ kalische Messung betrachten als Zuordnung einer Zahl (induzierte Umlaufspannung) zu einer Flache oder dem Rand der Flache. Auch bei anderen Messungen besteht die Beschreibung der physikalischen Messungen in der Zuordnung abgelesener Skalengro~en (Zahlen) zu einem Raumgebiet.

Inhalt

1. Einleitung.- 2. Meßergebnisse als Punkte einer reellen Mannigfaltigkeit.- 3. Ideale Mannigfaltigkeiten.- 4. Eigenschaften von Ereignisklassen.- 5. Aussagen über Ereignisse.- 6. Ereignisse der Physik.- 7. Beziehungen zwischen Ereignisklassen.- 8. Die Entropie von Übergangswahrscheinlichkeiten.- 9. Die natürliche a-Algebra einer Klasse gleichwertiger Meßgeräte.- 10. Der natürliche Vektorraum (Banachraum, Hilbertraum) einer Klasse gleichwertiger Meßgeräte.- 11. Physikalische Übergangswahrscheinlichkeiten.- 12. Vergleich mit der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit.- 13. Lineare Paare für Maßmannigfaltigkeiten der Physik.- 14. Skalenwechsel und lineare Gruppenstrukturen in Maßmannigfaltigkeiten.- Anmerkungen.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.