Allgemeine Topologie

Die allgemeine Topologie, gelegentlich auch analytische oder mengentheoretische Topologie genannt, ist entstanden aus dem Bestreben, die aus der Analysis bekannten Begriffe wie Stetigkeit und Konvergenz auf eine allgemeine Grund lage zu stellen. Es soll hier nicht versucht werden, die historische Entwicklung aufzuzeigen, sondern viel mehr soll das Ergebnis jahrzehntelanger Forschungsarbeit in Form einer axiomatisch aufgebauten Theorie prasentiert werden. Dabei werden auch neueste Forschungsergebnisse berUcksichtigt. Langst hat sich die allgemeine Topologie 10sgelBst von der Analysis und zu einer selbstandigen Disziplin entwickelt. Nichtsdestoweniger ist die Analysis eines ihrer wichtigsten Anwendungsgebiete und kein Ana lytiker kann heute ohne ihre Methoden auskommen. SchlieS lich bildet die allgemeine Topologie selbst ein wichtiges Anwendungsbeispiel fUr die immer gr5Sere Bedeutung erlan gende Kategorientheorie. Dennoch sind erst in jUngster Zeit in der allgemeinen Topologie kategorientheoretische Methoden zur Anwendung gekommen. Auf diesem Sektor liegt heute ein SchlUssel fUr weitere Forschungsarbeit. Es ware viel gewonnen, wenn das vorliegende Buch auch in dieser Richtung anregen wtirde. Der Begriff der gleich maBigen Stetigkeit kann erst in einem spateren Kapitel des Buches im Rahmen der Theorie der uniformen Raume 2 (und der Proximit~tsr~ume) behandelt werden. Dort wird dann auch auf eln wichtlges Anwendungsbeisplel fUr uniforme R~ume, n~11ch auf die topolog1schen Gruppen, kurz elngegangen. 0. 2. Mengentheoretlsche Grundbegrlffe 0. 2. 1. Bemerkung: In der auf Cantor zurUckgehenden naiven Mengenlehre wurde zun~chst jede Zusammenfassung von'Objekten eine Menge genannt.

Inhalt
0: Vorbereitungen.- 0.1. Einleitung.- 0.2. Mengentheoretische Grundbegriffe.- 0.3. Metrische Räume.- 1: Topologische Räume und stetige Abbildungen.- 1.1 Äquivalente Axiomensysteme für topologische Räume.- 1.2. Kern- und Hüllenbildung.- 1.3. Umgebungsbasen, Basen und Subbasen.- 1.4. Stetige Abbildungen.- 1.5. Die Begriffe Kategorie und Funktor.- 2: Filtertheorie (Konvergenz).- 2.1. Definition und Beispiele von Filtern.- 2.2. Limites und Häufungspunkte von Filtern.- 2.3. Abbildungen und Filter.- 2.4. Ultrafilter.- 3: Vollständigkeit und Covollständigkeit der Kategorie der topologischen Räume.- 3.1. Initiale und finale Topologien.- 3.2. Differenzkerne und -cokerne (equalizers and coequalizers).- 3.3. Produkte und Coprodukte.- 4: Trennungsaxiome.- 4.1. T0-Räume.- 4.2. T1-Räume.- 4.3. T2-Räume.- 4.4. T3-Räume und reguläre Räume.- 4.5. T4-Räume und normale Räume.- 4.6. T3a-Räume und vollständig reguläre Räume.- 4.7. Einige strukturelle Aussagen uber Trennungsaxiome.- 5: Zusammenhangsbegriffe.- 5.1. Der klassische Zusammenhangsbegriff und seine Verallgemeinerung.- 5.2. Wegzusammenhang.- 5.3. Lokale K-Räume.- 6: Beziehungen zwischen Trennung und Zusammenhang.- 6.1. Einige Klassen nicht zusammenhangender Räume.- 6.2. Die Klasse UE der total E-unzusammenhängenden Räume.- 6.3. Die E-Quasikomponenten und die Klasse QE der total E-zusammenhangslosen Räume.- 6.4. Die Klasse RE.- 6.5. Die Klasse NE.- 7: Kompaktheitsbegriffe.- 7.1. Quasikompakte und kompakte Räume.- 7.2. BW-kompakte, abzählbar kompakte und folgen- kompakte Räume.- 7.3. Lokal quasikompakte und lokal kompakte Räume.- 7.4. Kompaktifizierungen.- 8: Epireflexionen und Monocoreflexionen (in der allgemeinen Topologie und sonstwo).- 8.1. Definitionen und Charakterisierungssätze.-8.2. Epireflektive und monocoreflektive Hullen.- 8.3. Reflektoren als Kompositum von Epireflektoren.- 9: Uniforme Räume.- 9.1. Definitionen und einfache Folgerungen.- 9.2. Gleichmäßige Stetigkeit.- 9.3. Allgemeine Konstruktionen.- 9.4. Uniformisierbarkeit eines topologischen Räumes und Metrisierbarkeit eines uniformen Räumes.- 9.5. Gruppenuniformitäten.- 9.6. Vollständige Räume und Vervoliständigung.- 9.7. Beziehungen zwischen uniformen Räumen und kompakten Räumen.- 10: ProximitätsRäume.- 10.1. Definitionen und Beispiele.- 10.2. Konstruktion von topologischen Räumen und total beschränkten uniformen Räumen aus ProximitatsRäumen.- 10.3. p-stetige Abbildungen.- 10.4. Isomorphie zwischen der Kategorie der ProximitatsRäume und der Kategorie der total beschränkten uniformen Räume.- Übersicht.- Übungsaufgaben.