Entscheidungs- und Spieltheorie

Als A. N. Kolmogoroff 1933 die Wahrscheinlichkeitsrechnung als selb stindige mathematische Disziplin maBtheoretisch begrundete, stand auch die mathematische Statistik inmitten einer fruchtbaren Entwicklung. Be sondere Verdienste haben sich einerseits K. Pearson und J. Neyman und anderseits R. A. Fisher erworben. Letzterer gilt auch als Begrunder der statistischen Versuchsplanung. Vergessen wollen wir aber nicht, daB die Wurzeln der Theorie statisti scher Schlusse (Inferenztheorie) auf Jakob Bernoulli I zuruckgehen, der zum erstenmal in der posthum veroffentlichten Ars conjectandi [3] die "Gesamtheit aller moglichen statistischen Beobachtungen als ein im Sin ne der Wahrscheinlichkeitsrechnung meBbares Kollektiv" interpretiert hat. Die klassische Statistik zerfillt im wesentlichen in zwei Bereiche: I Testen von Hypothesen II Schitzen von Parametern (Punkt- und Intervallschitzung) Zentrale Begriffe sind dabei Macht eines Tests sowie Effizienz und Suf fizienz einer Schitzfunktion. Allgemeine Kriterien statistischer Infe renz sind etwa das Maximum-Likelihoodprinzip oder das Fiduzialkonzept von R. A. Fisher. Abgesehen von wenigen Ausnahmen beschrinkte sich die klassische Theorie auf I) ein I-stufiges Experiment, d.h. der Stichprobenumfang ist zum vorn herein fixiert 2) Entscheidungsprobleme der oben erwihnten Typen I und II. 225 Abraham Wald hat 1950 eine allgemeine statistische Entscheidungstheorie entwickelt, deren Grundzuge in seinem Standardwerk "Statistical Decision Functions" aufgezeichnet sind [54]. Charakteristiken dieser neuen Theorie sind: a) Zulassung mehrstufiger Experimente ("multi-stage experimentation") b) Verallgemeinerung auf mehrere Aktionen oder Letztentscheidungen (multi-decision problem) c) Bewertung der entstandenen Verluste bei statistischen Entscheidungen sowie der anfallenden Stichprobenkosten d) Interpretation des statistischen Inferenzproblems als 2-Personen NuIIsummenspiel zwischen dem Statistiker (I. Spieler) und der Um welt (2. Spieler).

Inhalt

1. Teil: Entscheidungstheorie.- 1. Modell der Entscheidungstheorie.- 2. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 3. Risikosituation.- 4. Moderne Nutzentheorie.- 2. Teil Spieltheorie.- 5 Einführung und Überblick.- 6 Extensive Form und Reduktion auf Normal- und Matrixform.- 7 Das 2-Personen-Nullsummenspiel in Normal- und Matrixform.- 8 Gemischte Strategie und gemischte Erweiterung.- 9 Lösungsmethoden für 2-Personen-Nul1summenspiele Querverbindung zur linearen Optimierung.- 10 Einige Bemerkungen zu den 2-Personen-Nichtnullsummenspielen (N-NS-Spiele).- 3. Teil Statistische Entscheidungstheorie.- 11 Einleitung.- 12 Beispiel aus der Qualitätskontrolle (Testen einer ein-fachen Hypothese gegen eine einfache Alternative).- 13 Erste Ansätze zu den Lösungsmethoden. Querverbindung zur klassischen Statistik.- 14 Allgemeine Betrachtungen über das statistische Entscheidungsproblem.- 15 Das Bayes'sche Kriterium.- 16 Beispiel aus der Produktionsplanung.- 17 Beispiel eines zweistufigen statistischen Entscheidungsverfahrens.- 18 Verallgemeinerung des Testproblems in Kapitel 12. Unendlicher Zustandsräum. Risikosituation.- 19 Lösung eines statistischen Schätzproblems im Falle der ungünstigsten a priori-Verteilung.- 20 Bemerkungen zum Wert der Information bei entscheidungstheoretischen Problemen.- Mathematischer Anhang 1.- Beweis des Hauptsatzes für 2-Personen-Nullsummenspiele.- Mathematischer Anhang 2.- Beweis der Optimalität der rekursiven Analyse.