IN THEORIE UND ANWENDUNG DER LAPLACE-TRANSFORMATION Ein Lehrbuch für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaft VON GUSTAV DOETSCH EMEIl. ORD. PIlOPESSOll AN DER UNIVERSITÄT PREIBURG I. BR. Dritte Auflage Mit 51 Figuren im Text 1976 SPRINGER BASEL AG CIP-Kurztitelaufnahll1e der Deutschen Bibliothek Doetsch, Gustav Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation: e. Lehrbuch für Studierende d. Mathematik, Physik u. Ingenieurwiss. - 3. Auf!. (Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Math. Reihe; Bd. 24) Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1976 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag, Basel, 1958, 1970, 1976 Softcover reprint ofthe hardcover 3rd edition 1976 ISBN 978-3-0348-5189-3 ISBN 978-3-0348-5188-6 (eBook) DOI 10. 1007/978-3-0348-5188-6 5 Vorwort Das vorliegende Buch bringt einerseits aus dem grossen Gebiet der Laplace Transformation diejenigen Teile, die in der Tagesarbeit des Mathematikers, Physikers und Ingenieurs fortgesetzt gebraucht werde~, in voller Allgemeinheit und mit ausführlichen Beweisen; andererseits kann es nach Anlage und Umfang als Lehrbuch für diejenigen dienen, die den Gegenstand noch nicht kennen und sich in diese heute in so viele Gebiete eingreifende Disziplin einarbeiten wollen. Zu diesem Zweck ist das Buch nicht wie mein dreibändiges Handbuch der Laplace-Transjor mation streng systematisch aufgebaut, sondern bemüht sich, vom Leichteren zum Schwereren fortzuschreiten und das in der Theorie Erreichte immer unmittelbar zu Anwendungen auszunutzen. Die

1-14 behandeln die Frage der Konvergenz und die Abbildungseigenschaf ten der Laplace-Transformation.

Inhalt
Einführung des Laplace-Integrals von physikalischen und mathematischen Gesichtspunkten aus.- Einige Beispiele von Laplace-Integralen und Präzisierung des Integralbegriffs.- Die Konvergenzhalbebene.- Das Laplace-Integral als Transformation.- Die Frage der eindeutigen Umkehrbarkeit der Laplace-Transformation.- Die Laplace-Transformierte als analytische Funktion.- Die Abbildung der linearen Substitution der Variablen.- Die Abbildung der Integration.- Die Abbildung der Differentiation.- Die Abbildung der Faltung.- Anwendungen des Faltungssatzes: Integralrelationen.- Die Laplace-Transformation der Distributionen.- Die Laplace-Transformierten einiger spezieller Distributionen.- Die Abbildungsgesetze der L-Transformation für Distributionen.- Das Anfangswertproblem der gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.- Die gewöhnliche Differentialgleichung bei Vorgabe von Anfangswerten beliebiger Ableitungen und von Randwerten.- Die Lösungen der Differentialgleichung für spezielle Erregungen.- Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung im Raum der Distributionen.- Normales System von simultanen Differentialgleichungen.- Anomales System von simultanen Differentialgleichungen unter erfüllbaren Anfangsbedingungen.- Normales System im Raum der Distributionen.- Anomales System unter beliebigen Anfangsbedingungen im Raum der Distributionen.- Das Verhalten der Laplace-Transformierten im Unendlichen.- Die komplexe Umkehrformel für die absolut konvergente Laplace-Transformation. Die Fourier-Transformation.- Deformation des Integrationsweges in dem komplexen Umkehrintegral.- Auswertung des komplexen Umkehrintegrals durch Residuenrechnung.- Die komplexe Umkehrformel für die einfach konvergente Laplace-Transformation.- Hinreichende Bedingungen für dieDarstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Funktion.- Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Darstellbarkeit als Laplace-Transformierte einer Distribution.- Bestimmung der Originalfunktion durch Reihenentwicklung der Bildfunktion.- Die Parsevalsche Gleichung der Fourier- und der Laplace-Transformation. Die Abbildung des Produkts.- Der Begriff der asymptotischen Darstellung und Entwicklung.- Asymptotisches Verhalten der Bildfunktion im Unendlichen.- Asymptotisches Verhalten der Bildfunktion an einer singulären Stelle auf der Konvergenzgeraden.- Asymptotisches Verhalten der Originalfunktion im Unendlichen, wenn die Singularitäten der Bildfunktion von eindeutigem Charakter sind.- Konvergenzgebiet des komplexen Umkehrintegrals mit winkelförmigem Weg und Holomorphie der dargestellten Funktion.- Asymptotisches Verhalten der Originalfunktion im Unendlichen, wenn die Bildfunktion an der singulären Stelle mit grösstem Realteil mehrdeutig ist.- Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Lösung durch Laplace-Transformation und durch Integrale mit winkelförmigem Weg.- Partielle Differentialgleichungen.- Integralgleichungen.