Das vorliegende Buch ist zum Teil aus Vorlesungen entstanden, die ich in den vergangenen zehn Jahren an verschiedenen Universitaten gehalten habe. Es verdankt daneben viel einer intensiven Beschaftigung auch mit den hOheren speziellen Funktionen, 'lor allem dem Bemtihen, fur ihre Untersuchung eine solide mathematische Grundlage zu schaffen. So ist mit dieser EinfUhrung ein Werk entstanden, das versucht, die Theorie der behandelten Funktionen mit dem Blick auf das mathematisch Wesentliche zu erfassen, den Zugang zu ihnen zu vereinfachen, ihre Vielfalt zu uberschauen und zu beherrschen. Ich habe die Hoffnung, daB die Theorie so auch fUr den, der diese Funktionen nicht als Gegen stand rein mathematischer Betrachtungen ansehen kann, sondem sie als Hilfsmittel benatigt, etwas gewonnen hat. Zu besonderem Dank bin ich verpflichtet Fraulein K. KAPPES fUr die sorgfaltige Reinschrift des Manuskripts, meinen Mitarbeitem R. EBERT und A. SCHNEIDER fUr die groBe Muhe einer kritischen Durchsicht, Herm A. SCHNEIDER insbesondere fUr die gewissenhafte Unterstutzung bei der Korrektur. Dem Verlage schlieBlich gilt mein Dank fUr sein Verstandnis bei mancher Verzagerung der Fertigstellung und fUr die vorzugliche Ausstattung des Buches. F. W. SCHAFKE KaIn, im Juni 1963 Inhaltsverzeichnis Seite Einleitung I 1. Grundlagen 7 I. I. Die Schwingungsgleichung 7 I. I I. grad, div, LI in orthogonalen Koordinatensystemen. 7 I. I 2. Orthogonalinvarianz. . . . . . . . 13 I. I 3. Bedeutung der Schwingungsgeichung 16 1. I 4. Separation der Schwingungsgleichung 17 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel . 23 1.3. Die Laplace-Transformation ..... . 29 2. Die GammaCunktion . . . . . . . . . . .

Inhalt

1. Grundlagen.- 1.1. Die Schwingungsgleichung.- 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel.- 1.3. Die Laplace-Transformation.- 2. Die Gammafunktion.- 2.1. Definition und einige Haupteigenschaften.- 2.2. Charakterisierung durch Funktionalgleichung und logarithmische Konvexität. Folgerungen.- 2.3. Die Darstellung von ??(z) als Laplace-Integral. Die asymptotische Reihe für log ?(z+1).- 2.4. Die Hankeische Integraldarstellung für die reziproke Gammafunktion und Verwandtes.- 3. Die Zylinderfunktionen.- 3.1. Integralrelationen.- 3.2. Die Bessel-Funktionen ganzer Indizes.- 3.3. Die Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.- 3.4. Hankel-Funktionen und Neumannsche Funktion. Asymptotische Reihen für x??.- 3.5. Rekursionsformeln.- 3.6. Wronskische Determinanten.- 3.7. Das (ebene) Additionstheorem.- 3.8. Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen.- 3.9. Jv+n(x) und Jv+n((v+n)x) als Eigenfunktionen.- 4. Die hypergeometrische Funktion. Grundlagen.- 4.1. Differentialgleichung und Reihe.- 4.2. Integraldarstellungen.- 4.3. Lineare Transformationen.- 4.4. Quadratische Transformationen.- 4.5. Verallgemeinerte Kugelfunktionen.- 5. Kugelfunktionen.- 5.1. Allgemeines.- 5.2. Die Legendreschen Polynome.- 5.3. Die Funktionen $$P_n^m (x),(m = 0,,1,,...;,n = m,,m + 1,,m + 2,,...)$$.- 5.4. Die Funktionen $$Q_n^m (x),(m = 0,,1,,2,,...;,n = m,,m + 1,,m + 2,,...)$$.- 5.5. Die Kugelflächenfunktionen.- 5.6. Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes.- 5.7. Rekursionsformeln.- 5.8. Kugelfunktionen als Eigenfunktionen.- 5.9. Die Polynome von GEGENBAUER.- 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.1. Kummersche Differentialgleichung und Reihe. Transformationsformeln.- 6.2. Die Whittakersche Differentialgleichung.- 6.3. Integraldarstellungen.- 6.4. Einige Spezialfälle.- 6.5.Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.- 6.6. Rekursionsformeln.- 6.7. Whittakersche Differentialgleichung: Wronskische Determinanten und Orthogonalität.- 6.8. Whittakersche Funktionen als Eigenfunktionen.- 7. Die F-Gleichung.- 7.1. Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die F-Gleichung.- 7.2. Reihenentwicklungen.- 7.3. Differentialformeln.- 7.4. Integralrelationen.- 8. Biorthogonalentwicklungen analytischer Funktionen.- 8.1. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung von Entwicklungssätzen und asymptotischen Aussagen.- 8.2. Reihen nach Bessel-Funktionen.- 8.3. Reihen nach Whittakerschen Funktionen.- 8.4. Entwicklungen nach Kugelfunktionen.- 8.5. Entwicklungen nach hypergeometrischen Funktionen.- 8.6. Asymptotische Formeln.- 8.7. Bemerkung zu den Entwicklungssätzen.- Literaturhinweise.