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Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie

  • Kartonierter Einband
  • 344 Seiten
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Als Felix Klein den Plan faBte, die wichtigsten seiner autogra phierten Vorlesungen im Druck erscheinen zu lassen, gedachte er, mi... Weiterlesen
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Beschreibung

Als Felix Klein den Plan faBte, die wichtigsten seiner autogra phierten Vorlesungen im Druck erscheinen zu lassen, gedachte er, mit der Nichteuklidischen Geometrie zu beginnen und den alten Text zu vor mit Hille eines jiingeren Geometers, des Herro Dr. Rosemann, in der Anlage und den Einzelheiten einer griindlichen Neubearbeitung zu unterziehen. Diese Arbeit erwies sich als langwieriger wie urspriing lich geschatzt. Klein selbst konnte ihren AbschluB nicht mehr erleben. Zwar hatte er in taglichen, durch mehr als ein J ahr fortgesetzten Be sprechungen den Stoff bis in die Einzelheiten hinein mit seinem Mit arbeiter durchdacht, gesichtet und geordnet; aber die eigentliche Aus arbeitung des Textes muBte er von vornherein Herro Rosemann uber lassen. Bei Kleins Tode lagen die Fahnenkorrekturen der ersten Ka pitel vor; es bedurfte jedoch noch jahrelanger opferwilliger Arbeit seitens Herro Rosemanns, urn auf Grund des urspriinglichen Programmes das Manuskript fertigzustellen und den Druck durchzufiihren. So ist bei diesem Werke eigener Antell und Verdienst, aber auch eigene Ver antwortung des Bearbeiters viel heher zu bewerten als sonst ublich.

Klappentext

Als Felix Klein den Plan faBte, die wichtigsten seiner autogra­ phierten Vorlesungen im Druck erscheinen zu lassen, gedachte er, mit der Nichteuklidischen Geometrie zu beginnen und den alten Text zu­ vor mit Hille eines jiingeren Geometers, des Herro Dr. Rosemann, in der Anlage und den Einzelheiten einer griindlichen Neubearbeitung zu unterziehen. Diese Arbeit erwies sich als langwieriger wie urspriing­ lich geschatzt. Klein selbst konnte ihren AbschluB nicht mehr erleben. Zwar hatte er in taglichen, durch mehr als ein J ahr fortgesetzten Be­ sprechungen den Stoff bis in die Einzelheiten hinein mit seinem Mit­ arbeiter durchdacht, gesichtet und geordnet; aber die eigentliche Aus­ arbeitung des Textes muBte er von vornherein Herro Rosemann uber­ lassen. Bei Kleins Tode lagen die Fahnenkorrekturen der ersten Ka­ pitel vor; es bedurfte jedoch noch jahrelanger opferwilliger Arbeit seitens Herro Rosemanns, urn auf Grund des urspriinglichen Programmes das Manuskript fertigzustellen und den Druck durchzufiihren. So ist bei diesem Werke eigener Antell und Verdienst, aber auch eigene Ver­ antwortung des Bearbeiters viel heher zu bewerten als sonst ublich.



Inhalt

Erster Teil: Einführung in die projektive Geometrie.- I: Die Grundbegriffe der projektiven Geometrie.- 1. Die affinen, die homogenen und die projektiven Koordinaten.- Die affinen Koordinaten.- Die homogenen Koordinaten.- Die projektiven Koordinaten.- Zusammenhang zwischen den affinen und projektiven Koordinaten.- Übersicht über die Entwicklung der Geometrie.- 2. Die Zusammenhangsverhältnisse der projektiven Gebilde; die Einseitigkeit der projektiven Ebene.- 3. Die homogenen linearen Substitutionen.- Die homogenen linearen Substitutionen; der Gruppenbegriff.- Kogredienz und Kontragredienz.- 4. Die projektiven Transformationen.- Die projektiven, frei-affinen und zentro-affinen Transformationen.- Das Vorzeichen der Substitutionsdeterminante.- Die anschauliche Wiedergabe der projektiven Transformationen.- Die Fixpunkte einer projektiven Transformation.- 5. Die n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.- 6. Projektive Geraden- und Ebenenkoordinaten; das Prinzip der Dualität.- Die projektiven Geradenkoordinaten in der Ebene.- Die projektiven Ebenenkoordinaten.- Die Dualität in der Ebene.- Die Dualität im Raum.- Der in sich duale Aufbau der projektiven Geometrie.- 7. Die Doppelverhältnisse.- Elementare Eigenschaften.- Das Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden.- Das Doppelverhältnis im Geraden- und Ebenenbüschel.- Bestimmung der projektiven Koordinaten durch Doppelverhältnisse.- 8. Imaginäre Elemente.- Einführung der imaginären Punkte.- Die imaginären Elemente in der Ebene.- Die imaginären Elemente im Raum.- Die anschauliche Wiedergabe der imaginären Punkte einer geraden Linie in der Zahlebene und auf der Zahlkugel.- Die Antikollineationen.- Historisches.- II: Die Gebilde zweiten Grades.- 1. Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse.- Die Definition der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse.- Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung.- Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Klasse.- Die wichtigsten Sätze über die Polarverwandtschaft.- 2. Das Entsprechen der nichtausgearteten Ordnungs- und Klassengebilde zweiten Grades.- 3. Die Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- Einteilung der Flächen zweiter Ordnung nach dem Rang der zugehörigen Determinante.- Beziehung der Flächen zweiter Ordnung auf ein Polartetraeder.- Weitere Einteilung der Flächen zweiter Ordnung nach den Realitätseigenschaften.- Die entsprechende Einteilung der Kurven und Punktsysteme zweiter Ordnung.- Historisches zur Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- 4. Die Einteilung der Gebilde zweiter Klasse; Beziehungen zur Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung.- Die Einteilung der Flächen zweiter Klasse.- Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Flächenarten zweiter Ordnung und Klasse.- Entsprechende Betrachtungen für die Kurven zweiter Klasse.- 5. Die geraden Linien auf den nicht ausgearteten Flächen zweiter Ordnung.- 6. Die geometrischen Übergänge zwischen den einzelnen Gebilden zweiten Grades; die Einteilung ieser Gebilde.- Die Übergänge auf der geraden Linie.- ü Die Übergänge in der Ebene.- Zusammenfassung der Kurven zweiter Ordnung und Klasse zu den Kurven zweiten Grades.- Die Übergänge im Raum.- Zusammenfassung der Flächen zweiter Ordnung und Klasse zu den Flächen zweiten Grades.- III: Die Kollineationen, die ein Gebilde zweiten Grades in sich überführen.- 1. Der eindimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Reelle Kollineationen.- Die Kollineationen, die einen doppelt zählenden Punkt in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- 2. Der zweidimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Reelle Kollineationen.- Die invarianten Elemente.- Die Auffassung der Kollineationen als Drehungen.- Die Kollineationen, die ein ausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- 3. Der dreidimensionale Fall.- Die komplexen Kollineationen, die ein nichtausgeartetes Gebilde in sich überführen die Schiebungen.- Reelle Kollineationen.- Die invarianten Elemente.- Die Drehungen und Schraubungen.- Die Kollineationen, die ein ausgeartetes Gebilde in sich überführen.- Der Übergang der verschiedenen Fälle ineinander.- Zweiter Teil: Die projektive Maßbestimmung.- IV: Die Einordnung der euklidischen Metrik in das projektive System.- 1. Die metrischen Grundformeln der euklidischen Geometrie.- Die Entfernungsformeln.- Die Winkelformeln.- 2. Diskussion der metrischen Formeln; die beiden Kreispunkte und der Kugelkreis.- Diskussion der Entfernungsformeln.- Diskussion der Winkelformeln.- Die Kreispunkte und der Kugelkreis.- 3. Die euklidische Metrik als projektive Beziehimg zu den fundamentalen Gebilden.- Die Darstellung des euklidischen Winkels durch ein Doppelverhältnis.- Die entsprechende Umformung der euklidischen Entfernung.- 4. Die Ersetzung der Kreispunkte und des Kugelkreises durch reelle Gebilde.- 5 Die Metrik im Strahl- und Ebenenbündel; die sphärische und die elliptische Geometrie.- Die Metrik im Bündel.- Beziehungen zur Geometrie auf der Kugel.- Die elliptische Geometrie.- Die Beziehungen zwischen der elliptischen und sphärischen Geometrie.- V: Die von der euklidischen Geometrie unabhängige Einführung der projektiven Koordinaten.- 1. Die Konstruktion der vierten harmonischen Elemente.- 2. Die Koordinateneinführung im eindimensionalen Gebiet.- 3. Die Koordinateneinführung in der Ebene und im Raum.- VI: Die projektiven Maßbestimmungen.- 1. Die nichtausgearteten Maßbestimmungen.- Die Festlegung der Entfernungen und Winkel durch Doppelverhältnisse.- Die analytischen Ausdrücke für die Entfernungen und Winkel.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung auf der Geraden.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung im Geraden- und Ebenenbüschel.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung in der Ebene.- Die elliptische und hyperbolische Maßbestimmung im Raum.- 2. Die ausgearteten Maßbestimmungen.- Die gerade Linie.- Das Geraden- und Ebenenbüschel.- Die Ebene.- Der Raum; abschließende Bemerkungen.- 3. Die Dualität.- 4. Die starren Transformationen.- Die starren Transformationen und die Ähnlichkeitstransformationen.- Die Bewegungen und Umlegungen.- Erzeugung der Bewegungen durch spezielle Transformationen.- VII: Die Beziehungen zwischen der elliptischen, euklidischen und hyperbolischen Geometrie.- 1. Die Sonderstellung der drei Geometrien.- 2. Der Übergang von der elliptischen über die euklidische zur hyperbolischen Geometrie.- 3. Die Darstellung der elliptischen und hyperbolischen Geometrie auf der euklidischen Kugel von reellem und imaginärem Radius.- 4. Herleitung der Formeln der elliptischen und hyperbolischen Geometrie aus denen der Geometrie auf der euklidischen Kugel.- Trigonometrische Formeln.- Grenzübergang zur euklidischen Geometrie.- Formeln für Kreisumfang und -inhalt.- 5. Winkelsumme und Inhalt des Dreieckes.- Die elliptische Geometrie.- Die hyperbolische Geometrie.- Die euklidische Geometrie.- Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionenzahlen.- 6. Die euklidische und die beiden nichteuklidischen Geometrien als System der Maßbestimmungen, die auf die Außenwelt passen.- VIII: Besondere Untersuchung der beiden nichteuklidischen Geometrien.- 1. Die elliptische und die hyperbolische Geometrie auf der Geraden.- Die elliptische Gerade.- Die hyperbolische Gerade.- 2. Die elliptische Geometrie der Ebene.- Allgemeines; Dualität.- Bewegungen.- Einige Sätze aus der Kreislehre.- Die Kongruenzsätze.- Die Schnittpunktsätze im Dreieck.- Abschließende Bemerkungen.- 3. Die hyperbolische Geometrie der Ebene.- Allgemeines; Parallelen.- Über senkrechte Gerade.- Die Umlegungen.- Die Bewegungen; ihre Klassifikation nach Fixelementen; die Kreise.- Abschließende Bemerkungen.- 4. Die Theorie der Kurven zweiten Grades in den ebenen nichteuklidischen Geometrien.- 5. Die elliptische Geometrie des Raumes.- Allgemeines.- Die Cliffordschen Parallelen und Schiebungen.- Beliebige Bewegungen, insbesondere Rotationen.- Die Hamiltonschen Quaternionen und die Gruppe der elliptischen Bewegungen des Raumes.- 6. Die Cliffordsche Fläche.- Ihre einfachsten Eigenschaften.- Die Differentialgeometrie der Cliffordschen Fläche.- Die Geometrie im Großen auf der Cliffordschen Fläche.- 7. Die hyperbolische Geometrie des Raumes.- Allgemeines.- Die Bewegungen.- Die Kugeln.- Über die analytische Darstellung der Bewegungen.- IX: Das Problem der Raumformen.- 1. Die Raumformen der ebenen euklidischen Geometrie.- Definition des Problems; die Zylinder- und die Kegelgeometrie.- Die Raumform der Cliffordschen Fläche.- Zusammenhang mit der Gruppentheorie.- Die Aufstellung aller euklidischen Raumformen.- Der Zusammenhang zwischen einander entsprechenden ein- und zweiseitigen Raumformen.- 2. Die Raumformen der ebenen elliptischen und hyperbolischen Geometrie.- Die elliptischen Raumformen.- Die hyperbolischen Raumformen.- 3. Die Raumformen der dreidimensionalen Geometrien.- Dritter Teil: Die Beziehungen der nichteuklidischen Geometrie zu anderen Gebieten.- X: Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie; Beziehungen zur Axiomatik und zur Differentialgeometrie.- 1. Die Elemente Euklids und die Beweisversuche des Parallelenaxioms.- 2. Die axiomatische Begründung der hyperbolischen Geometrie.- 3. Die Grundlagen der Flächentheorie.- 4. Der Zusammenhang der ebenen nichteuklidischen Geometrie mit der Flächentheorie.- 5 Die Erweiterung der differentialgeometrischen Gesichtspunkte durch Riemann.- 6. Die konformen Abbildungen der nichteuklidischen Ebene.- Die konforme Abbildung der elliptischen und hyperbolischen Ebene auf die Kugel.- Die konforme Abbildung der elliptischen und hyperbolischen Ebene auf die euklidische Ebene.- Die konformen Abbildungen der hyperbolischen Geometrie auf die Gaußsche Zahlebene.- 7. Das Eingreifen der projektiven Geometrie.- 8. Der weitere Ausbau der nichteuklidischen Geometrie, insbesondere der Differentialgeometrie.- XI: Ausblicke auf Anwendungen der nichteuklidischen Geometrie.- 1. Die hyperbolischen Bewegungen des Raumes und der Ebene und die linearen Substitutionen einer komplexen Veränderlichen.- 2. Über Anwendungen der hyperbolischen Geometrie des Raumes auf lineare Substitutionen.- 3. Automorphe Funktionen, Uniformisierung und nichteuklidische Maßbestimmung.- 4. Bemerkung über die Anwendung der nichteuklidischen Maßbestimmung in der Topologie.- 5. Die Anwendung der projektiven Maßbestimmung in der speziellen Relativitätstheorie.

Produktinformationen

Titel: Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie
Autor:
Überarbeitet von:
EAN: 9783642950278
ISBN: 978-3-642-95027-8
Format: Kartonierter Einband
Herausgeber: Springer Berlin Heidelberg
Genre: Geometrie
Anzahl Seiten: 344
Gewicht: 522g
Größe: H235mm x B155mm x T18mm
Jahr: 2012
Auflage: Softcover reprint of the original 1st ed. 1967

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