Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -Räume

LEBESGUE hat am Anfang dieses Jahrhunderts den Begriff des Maßes eingeführt, der eine Erweiterung des älteren Begriffes des Inhalts war. So schuf er die Möglichkeit, den Definitionsbereich des Inhaltes auf mehr Teilmengen der Zahlengeraden, allgemeiner eines euklidischen Raumes, zu erweitern. Es entstand dann die Frage, ob jede Teilmenge meßbar ist. VITALI entdeckte 1905 die Existenz von nicht meßbaren Teilmengen der Zahlengeraden. Später, als man abstrakte Maße auf Mengenkörpern bzw. Booleringen (Booleschen Algebren) einführte, erhob sich, neben dem Problem der Erweiterung des Definitionsbereiches des abstrakten Maßes, auch die Frage, ob man auf einem beliebigen Mengenkörper bzw. Boolering ein nicht triviales Maß, und zwar mit bestimmten Eigenschaf ten erklären kann. Dies ist im allgemeinen nicht möglich; hier geht wesentlich die Struktur des Mengenkörpers bzw. des Booleringes in das Problem ein. Diese Frage ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung, weil man in dies~r Theorie die Zufallsereignisse mit abstrakten Mengen oder mit Elementen eines Booleringes darstellt und die Wahrscheinlichkeit als ein normiertes und in gewissen Fällen strikt positives Maß betrachtet. Über die Strukturtheorie der Wahr scheinlichkeitsfelder und -räume sind deshalb in den letzten J ahrzehn ten viele Untersuchungen angestellt worden. In dem vorliegenden Be richt haben wir versucht, das Wichtige davon zusammenzustellen. Ein großer Teil des Berichtes wird den verschiedenen Arten der Unabhän gigkeit und dem Begriff des cartesischen Produktes gewidmet, Begriffe, die hauptsächlich aus Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie ent standen sind und eine große Rolle bei der Charakterisierung der Struktur der Wahrscheinlichkeitsfelder spielen.

Klappentext

LEBESGUE hat am Anfang dieses Jahrhunderts den Begriff des Maßes eingeführt, der eine Erweiterung des älteren Begriffes des Inhalts war. So schuf er die Möglichkeit, den Definitionsbereich des Inhaltes auf mehr Teilmengen der Zahlengeraden, allgemeiner eines euklidischen Raumes, zu erweitern. Es entstand dann die Frage, ob jede Teilmenge meßbar ist. VITALI entdeckte 1905 die Existenz von nicht meßbaren Teilmengen der Zahlengeraden. Später, als man abstrakte Maße auf Mengenkörpern bzw. Booleringen (Booleschen Algebren) einführte, erhob sich, neben dem Problem der Erweiterung des Definitionsbereiches des abstrakten Maßes, auch die Frage, ob man auf einem beliebigen Mengenkörper bzw. Boolering ein nicht triviales Maß, und zwar mit bestimmten Eigenschaf­ ten erklären kann. Dies ist im allgemeinen nicht möglich; hier geht wesentlich die Struktur des Mengenkörpers bzw. des Booleringes in das Problem ein. Diese Frage ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie von besonderer Bedeutung, weil man in dies~r Theorie die Zufallsereignisse mit abstrakten Mengen oder mit Elementen eines Booleringes darstellt und die Wahrscheinlichkeit als ein normiertes und in gewissen Fällen strikt positives Maß betrachtet. Über die Strukturtheorie der Wahr­ scheinlichkeitsfelder und -räume sind deshalb in den letzten J ahrzehn­ ten viele Untersuchungen angestellt worden. In dem vorliegenden Be­ richt haben wir versucht, das Wichtige davon zusammenzustellen. Ein großer Teil des Berichtes wird den verschiedenen Arten der Unabhän­ gigkeit und dem Begriff des cartesischen Produktes gewidmet, Begriffe, die hauptsächlich aus Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie ent­ standen sind und eine große Rolle bei der Charakterisierung der Struktur der Wahrscheinlichkeitsfelder spielen.

Inhalt
I.- 1. Der Begriff des Wahrscheinlichkeitsfeldes.- 2. Beispiele von W-Feldern.- 3. Quasi-Wahrscheinlichkeitsfelder.- 4. Definition einer Quasi-Wahrscheinlichkeit auf jedem beliebigen Boolering.- 5. Separable Booleringe.- 6. Darstellung eines Booleringes durch einen Mengenkörper.- II.- 7. Die unendlichen Operationen in W-Feldern.- 8. Metrik in W-Feldern. Metrische Erweiterung eines W-Feldes zu einem ?-W-Feld.- III.- 9. Wahrscheinlichkeitsräume.- 10. Erweiterungen eines W-Raumes.- IV.- 11. Cartesische Produkte von W-Feldern.- 12. W-Produkträume.- V.- 13. w-Unabhängigkeit in W-Feldern.- 14. Algebraische Unabhängigkeit in Booleringen.- VI.- 15. Unabhängigkeit von Mengensystemen bzw. von Systemen von Körpern.- 16. Fastunabhängigkeit. Stochastische Unabhängigkeit.- 17. Nicht separable (nicht empirische) invariante Erweiterungen des linearen Lebesgueschen. W-Raumes.- VII.- 18. Topologische bzw. kompakte W-Räume.- 19. Approximation bezüglich einer Quasi-Wahrscheinlichkeit, Kompaktheit einer Quasi-Wahrscheinlichkeit.- 20. Kompaktheit und Unabhängigkeit.- 21. Kompaktheit und cartesische Produkte.- 22. Quasi-Kompaktheit der W-Räume.- VIII.- 23. Bedingte Wahrscheinlichkeitsräume.- Zeichenindex.- Namen- und Sachverzeichnis.