Endliche Gruppen I

Als ich im Jahre 1958 mit den Vorarbeiten zu diesem Buch begann, schien es noch moglich, eine einigermal3en vollstandige Darstellung der Strukturtheorie endlicher Gruppen in einem Bande zu geben. Die stiir mische Entwicklung, welche die Theorie seitdem erlebt hat (das Literatur verzeichnis gibt einen Eindruck davon), hat diese Zielsetzung unmoglich gemacht. Der vorliegende erste Band enthalt neben den Grundbegriffen die Theorie der nilpotenten, p-nilpotenten und auflosbaren Gruppen sowie die gewohnliche Darstellungstheorie. Da die Entwicklung der letzten Jahre nicht in diesen Gebieten ihren Schwerpunkthatte, konnte hier ein ziemlich vollstandiger Uberblick tiber den gegenwartigen Stand der Theorie gegeben werden. (Die in den allerletzten Jahren ent standene Theorie der Formationen und Fittingklassen konnte nur noch zum Teil aufgenommen werden. ) Der zweite Band soIl die Theorie der subnormalen Untergruppen, die feinere Theorie der p-Lange, mehrfach transitive Permutationsgruppen und einige neuere Anwendungen der Charaktertheorie enthalten. Wegen der Ftille der Ergebnisse der letzten Jahre kann dabei keine Vollstandigkeit mehr angestrebt werden. Einige Teilgebiete wurden ausgeschlossen: 1. Eine einheitliche Behandlung der heute bekannten Serien von einfachen endlichen Gruppen nach der Methode von CHEVALLEY hatte umfangreiche Vorkenntnisse tiber Liesche Algebren erfordert. lch habe mich in Kap. II auf die projektiven und symplektischen Gruppen be schrankt. Die einfachen Gruppen von MATHIEU und SUZUKI werden erst in Band 2 behandelt werden. 2. Die Theorie der p-Gruppen vom Exponenten p und die dazu benotigten Zusammenhange zwischen nilpotenten Gruppen und Lie schen Ringen wurden nicht bertihrt.

Inhalt
I Grundlagen.- § 1. Die Gruppenaxiome.- § 2. Untergruppen.- § 3. Normalteiler, Faktorgruppen und Homomorphismen.- § 4. Automorphismen.- § 5. Permutationsgruppen.- § 6. Darstellungen durch Permutationsgruppen.- § 7. Die Sylowschen Sätze.- § 8. Auflösbare Gruppen.- § 9. Direkte Produkte.- § 10. Operatorgruppen und Moduln.- § 11. Der Satz von Jordan-Hölder.- § 12. Direkte Zerlegungen.- § 13. Moduln über Hauptidealringen und abelsche Gruppen.- § 14. Erweiterungstheorie.- § 15. Kranzprodukte.- § 16. Kohomologietheorie.- § 17. Die Sätze von Gaschütz und Maschke.- § 18. Der Satz von Zassenhaus.- § 19. Freie Gruppen und definierende Relationen.- II Permutationsgruppen und lineare Gruppen.- § 1. Primitive und mehrfach transitive Permutationsgruppen.- § 2. Reguläre Normalteiler mehrfach transitiver Permutationsgruppen.- § 3. Primitive Permutationsgruppen mit abelschen Normalteilern.- § 4. Primitive Permutationsgruppen mit transitiven Untergruppen kleineren Grades.- § 5. Die symmetrischen und alternierenden Gruppen.- § 6. Lineare und projektive Gruppen.- § 7. Untergruppen von PGL (n, pf).- § 8. Die Untergruppen von PSL (2, pf).- § 9. Die symplektischen Gruppen.- § 10. Unitäre und orthogonale Gruppen.- III Nilpotente Gruppen und p-Gruppen.- § 1. Kommutatoren und Kommutatorgruppen.- § 2. Zentralreihen und nilpotente Gruppen.- § 3. Die Frattinigruppe.- § 4. Die Fittinggruppe.- § 5. Minimale nichtnilpotente Gruppen.- § 6. Engelgruppen und engelsche Elemente.- § 7. Elementare Theorie der p-Gruppen.- § 8. Anzahlsätze.- § 9. Die Identitäten von P. Hall und Zassenhaus.- § 10. Reguläre p-Gruppen.- § 11. Metazyklische p-Gruppen.- § 12. Abelsche Normalteiler von p-Gruppen.- § 13. Spezielle und extraspezielle p-Gruppen.- § 14. p-Gruppenvon maximaler Klasse.- § 15. Die p-Sylowgruppen der symmetrischen Gruppen $${{\mathfrak{S}}_{{{{p}^{n}}}}}$$.- § 16. Die p-Sylowgruppen der linearen Gruppen GL (n, pf).- § 17. Binäre p-adische Gruppen.- § 18. Erzeugende und Relationen in p-Gruppen.- § 19. Automorphismen von p-Gruppen.- IV Verlagerung und p-nilpotente Gruppen.- § 1. Monomiale Darstellungen und Verlagerung.- § 2. Einfache Anwendungen der Verlagerung.- § 3. Die Grünschen Sätze.- § 4. p-nilpotente Gruppen.- § 5. Minimale nicht p-nilpotente Gruppen.- § 6. Das p-Nilpotenzkriterium von Thompson.- § 7. Nilpotente Untergruppen.- § 8. Gruppen mit regulärer Sylowgruppe.- V Darstellungstheorie.- § 1. Algebren und ihre Darstellungen.- § 2. Das Jacobson-Radikal.- § 3. Vollständig reduzible Moduln und halbeinfache Algebren.- § 4. Die Wedderburnschen Sätze.- § 5. Gruppencharaktere.- § 6. Charaktere abelscher Gruppen.- § 7. Die Sätze von Burnside, Wielandt und Frobenius.- § 8. Frobeniusgruppen.- § 9. Tensorprodukte von Moduln und Algebren.- § 10. Tensorprodukte von Darstellungen.- § 11. Zerfällungskörper.- § 12. Ganzzahlige Darstellungen und Konstantenreduktion.- § 13. Algebraisch konjugierte Charaktere.- § 14. Der Schursche Index.- § 15. Die Klassenzahl.- § 16. Induzierte Darstellungen.- § 17. Einschränkung von irreduziblen Darstellungen auf Normalteiler..- § 18. Monomiale Darstellungen.- § 19. Die Sätze von R. Brauer.- § 20. Charaktere von Permutationsgruppen.- § 21. Permutationsgruppen von Primzahlgrad.- § 22. Involutionen.- § 23. Schurscher Multiplikator und Darstellungsgruppen.- § 24. Projektive Darstellungen.- § 25. Berechnung des Schurschen Multiplikators.- VI Auflösbare Gruppen.- § 1. Hallgruppen auflösbarer Gruppen.- § 2. Sylowsysteme auflösbarer Gruppen.-§ 3. Gruppen mit vielen Sylowsystemen.- § 4. Produkte von nilpotenten Gruppen.- § 5. Hauptreihen.- § 6. Elementare Theorie der p-Länge.- § 7. Formationen.- § 8. Rang und Frattinigruppe.- § 9. Überauflösbare Gruppen.- § 10. Produkte von zyklischen Gruppen.- § 11. Systemnormalisatoren auflösbarer Gruppen.- § 12. Cartergruppen auflösbarer Gruppen.- § 13. Gruppen, in denen die Systemnormalisatoren Cartergruppen sind.- § 14. Auflösbare Gruppen mit lauter abelschen Sylowgruppen.- § 15. Sylowsysteme und Cartergruppen.- Namenverzeichnis.- Errata.