In unnachahmlicher Weise versteht van der Waerden es, das Wesentliche einer mathematischen Theorie oder eines Teilgebietes verständlich und einprägsam zugleich darzustellen. Die beiden nun neu vorgelegten Bände der Algebra haben mehrere Generationen von Mathematikern als Einführung in die Algebra gedient, und viele greifen auch heute noch zu seinen Ausführungen, die nichts von ihrer Frische und Kraft verloren haben. Das Geleitwort von Jürgen Neukirch unterstreicht, welchen ganz besondern Stellenwert dieses Lehrbuch im deutschen Sprachraum einnimmt.

Zusammenfassung
Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. Mit einem Geleitwort von Jürgen Neukirch

Inhalt
Zwölftes Kapitel. Lineare Algebra.- § 84. Moduln über einem Ring.- § 85. Moduln über euklidische Ringe. Elementarteiler.- § 86. Der Hauptsatz über abelsche Gruppen.- § 87. Darstellungen und Darstellungsmoduln.- § 88. Normalformen für eine Matrix in einem kommutativen Körper.- § 89. Elementarteiler und charakteristische Funktion.- § 90. Quadratische und Hermitesche Formen.- § 91. Antisymmetrische Bilinearformen.- Dreizehntes Kapitel. Algebren.- § 92. Direkte Summen und Durchschnitte.- § 93. Beispiele von Algebren.- § 94. Produkte und verschränkte Produkte.- § 95. Algebren als Gruppen mit Operatoren. Moduln und Darstellungen.- § 96. Das kleine und das große Radikal.- § 97. Das Sternprodukt.- § 98. Ringe mit Minimalbedingung.- § 99. Zweiseitige Zerlegungen und Zentrumszerlegung.- § 100. Einfache und primitive Ringe.- § 101. Der Endomorphismenring einer direkten Summe.- § 102. Struktursätze für halbeinfache und einfache Ringe.- § 103. Das Verhalten der Algebren bei Erweiterung des Grundkörpers.- Vierzehntes Kapitel. Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren.- § 104. Problemstellung.- § 105. Darstellung von Algebren.- § 106. Die Darstellungen des Zentrums.- § 107. Spuren und Charaktere.- § 108. Darstellungen endlicher Gruppen.- § 109. Gruppencharaktere.- § 110. Die Darstellungen der symmetrischen Gruppen.- § 111. Halbgruppen von linearen Transformationen.- § 112. Doppelmoduln und Produkte von Algebren.- § 113. Die Zerfällungskörper einer einfachen Algebra.- § 114. Die Brauersche Gruppe. Faktorensysteme.- Fünfzehntes Kapitel. Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe.- § 115. Noethersche Ringe.- § 116. Produkte und Quotienten von Idealen.- § 117. Primideale und Primärideale.- § 118. Der allgemeine Zerlegungssatz.- §119. Der erste Eindeutigkeitssatz.- § 120. Isolierte Komponenten und symbolische Potenzen.- § 121. Theorie der teilerfremden Ideale.- § 122. Einartige Ideale.- § 123. Quotientenringe.- § 124. Der Durchschnitt aller Potenzen eines Ideals.- § 125. Die Länge eines Primärideals. Primäridealketten in Noetherschen Ringen.- Sechzehntes Kapitel. Theorie der Polynomideale.- § 126. Algebraische Mannigfaltigkeiten.- § 127. Universalkörper.- § 128. Die Nullstellen eines Primideals.- § 129. Die Dimensionszahl.- § 130. Der Hilbertsche Nullstellensatz. Resultantensysteme für homogene Gleichungen.- § 131. Die Primärideale.- § 132. Der Noethersche Fundamentalsatz.- § 133. Zurückführung der mehrdimensionalen Ideale auf nulldimensionale.- Siebzehntes Kapitel. Ganze algebraische Größen.- § 134. Endliche ?-Moduln.- § 135. Ganze Größen in bezug auf einen Ring.- § 136. Die ganzen Größen eines Körpers.- § 137. Axiomatische Begründung der klassischen Idealtheorie.- § 138. Umkehrung und Ergänzung der Ergebnisse.- § 139. Gebrochene Ideale.- § 140. Idealtheorie beliebiger ganz-abgeschlossener Integritätsbereiche.- Achtzehntes Kapitel. Bewertete Körper.- § 141. Bewertungen.- § 142. Komplette Erweiterungen.- § 143. Die Bewertungen des Körpers der rationalen Zahlen.- § 144. Bewertung von algebraischen Erweiterungskörpern: Kompletter Fall.- § 145. Bewertung von algebraischen Erweiterungskörpern: Allgemeiner Fall.- § 146. Bewertungen von algebraischen Zahlkörpern.- § 147. Bewertungen des rationalen Funktionskörpers ? (x).- § 148. Der Approximationssatz.- Neunzehntes Kapitel. Algebraische Funktionen einer Variablen.- § 149. Reihenentwicklungen nach Ortsuniformisierenden.- § 150. Divisoren und ihre Multipla.- § 151. Das Geschlecht g.- § 152.Vektoren und Kovektoren.- § 153. Differentiale. Der Satz vom Spezialitätsindex.- § 154. Der Riemann-Rochsche Satz.- § 155. Separable Erzeugung von Funktionenkörpern.- § 156. Differentiale und Integrale im klassischen Fall.- § 157. Beweis des Residuensatzes.- Zwanzigstes Kapitel. Topologische Algebra.- § 158. Der Begriff topologischer Raum.- § 159. Umgebungsbasen.- § 160. Stetigkeit. Limites.- § 161. Trennungs- und Abzählbarkeitsaxiome.- § 162. Topologische Gruppen.- § 163. Die Umgebungen der Eins.- § 164. Untergruppen und Faktorgruppen.- § 165. T-Ringe und T-Schiefkörper.- § 166. Gruppenkomplettierung durch Fundamentalfolgen.- § 167. Filter.- § 168. Gruppenkomplettierung durch Cauchy-Filter.- § 169. Topologische Vektorräume.- § 170. Ringkomplettierung.- § 171. Komplettierung von Schiefkörpern.- Namen- und Sachverzeichnis.