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Vorlesungen über Funktionentheorie

  • Kartonierter Einband
  • 420 Seiten
Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhe... Weiterlesen
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Beschreibung

Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhelms Universitiit Berlin und spater, wenn man von einem einsemestrigeu Kur sus liber Modem Theory of Functions an der Columbia University New York im Herbst 1952 absieht, wiederholt an der Freien Universitiit Berlin gehalten habe. Offen gesagt, hatte ich kaum die Zeit gefunden, diese Vorlesungen flir den Druck bereitzustelien, wenn uicht die Verzweiflung vieler meiner Harer, die manches Vorgetragene in der vorhandenen Literatur schwer finden konuten, mich zu dem EntschluB geflihrt hatte, auf Kosten anderer Arbeiten die Herausgabe dieses Buches zu beschleunigen. Was in diesen Vorlesungen geboten wird, ist nichts anderes als die Grundlage der Cauchy-Riemann-Nevanlinnaschen Funktionentheorie unter Zugrundelegung modemer Gesichtspunkte. Sie flihren den Leser bis an die Grenze eines groBen Teiles modemer Forschung und enthalten das, was meiner Meinung nach den Inhalt eines zwei-bzw. dreisemestri gen Kursus liber Funktionentheorie an einer graBeren deutschen Uni versitat ausmachen soli.

Klappentext

Die vorliegende Einfiihrung in die Funktionentheorie ist aus Vor­ lesungen entstanden, die ich vor 15 Jahren an der Friedrich-Wilhelms­ Universitiit Berlin und spater, wenn man von einem einsemestrigeu Kur­ sus liber Modem Theory of Functions an der Columbia University New York im Herbst 1952 absieht, wiederholt an der Freien Universitiit Berlin gehalten habe. Offen gesagt, hatte ich kaum die Zeit gefunden, diese Vorlesungen flir den Druck bereitzustelien, wenn uicht die Verzweiflung vieler meiner Harer, die manches Vorgetragene in der vorhandenen Literatur schwer finden konuten, mich zu dem EntschluB geflihrt hatte, auf Kosten anderer Arbeiten die Herausgabe dieses Buches zu beschleunigen. Was in diesen Vorlesungen geboten wird, ist nichts anderes als die Grundlage der Cauchy-Riemann-Nevanlinnaschen Funktionentheorie unter Zugrundelegung modemer Gesichtspunkte. Sie flihren den Leser bis an die Grenze eines groBen Teiles modemer Forschung und enthalten das, was meiner Meinung nach den Inhalt eines zwei-bzw. dreisemestri­ gen Kursus liber Funktionentheorie an einer graBeren deutschen Uni­ versitat ausmachen soli.



Inhalt

Erster Teil Die Grundlagen der Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Die komplexe Ebene.- 1. Der Körper K der komplexen Zahlen.- 2. Der Körper der reellen Zahlen als Teilkörper von K. Isomorphe Darstellungen.- 3. Elementare Geometrie der komplexen Ebene.- 4. Die Riemannsche Kugel und die Zahl z = ?.- 5. Gruppen. Lineare Transformationen.- 6. Metrisierungsfragen. Bewegungen der komplexen Ebene.- 7. Bemerkungen und historische Zusammenhänge.- Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel.- 1. Die Formel von Moivre..- 2. Gleichungen elementarer Gebilde..- 3. Das Doppelverhältnis von vier Punkten..- 4. Spezielle Gruppen..- 5. Drehungen der Riemannschen Kugel..- 6. Bewegungen des Einheitskreises..- 7. Wurzeloperationen..- Zweites Kapitel Topologie der komplexen Ebene. Die Cauchysche Konvergenztheorie. Stetige Abbildungen.- 8. Grundlegende Begriffsbildungen.- 9. Offene und abgeschlossene Punktmengen.- 10. Die Cauchysche Konvergenztheorie.- 11. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel und der Satz von Bolzano-Weierstrass.- 12. Kurven.- 13. Eine Peano-Kurve.- 14. Gebiete und Kontinuen. Der Begriff des Zusammenhangs.- 15. Abbildungen durch eindeutige komplexe Funktionen.- 16. Linienintegrale komplexer Funktionen.- 17. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel.- 1. Oberer und unterer Limes von Punktmengen..- 2. Anwendungen..- 3. Offener Kern..- 4. Der Kern einer Gebietsfolge..- 5. Topologische Abbildungen..- 6. Vereinigung von offenen und abgeschlossenen Punktmengen..- Drittes Kapitel Lokale Eigenschaften der eindeutigen analytischen Funktionen.- 18. Definition der eindeutigen analytischen Funktion.- 19. Das Fundamentallemma der Funktionentheorie.- 20. Lokale Darstellungen von w (z).- 21. Der analytische Charakter von w? (z). Die Cauchy-Taylor-Entwicklung von w (z).- 22. Hebbare Stellen. Erweiterung des Regularitätsbegriffes.- 23. Pole und wesentliche Singularitäten. Die Entwicklung von Laurent-Weierstrass.- 24. Der Satz von Casorati-Weierstrass.- 25. Bemerkungen und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel.- 1. Der Konvergenzradius einer Potenzreihe..- 2. Moreras Definition der eindeutigen analytischen Funktion..- 3. Eine Definition der regulären analytischen Funktion..- 4. Der Satz von Looman-Menchoff..- 5. Der Satz von Cauchy-Liouville..- 6. Bestimmung einer eindeutigen analytischen Funktion durch abzählbar viele Werte..- 7. Aufgaben dazu..- Viertes Kapitel Die Hauptsätze der Cauchyschen Funktionentheorie.- 26. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie.- 27. Die allgemeine Cauchy-Formel.- 28. Der Residuensatz von Cauchy.- 29. Erste Anwendungen des Residuensatzes. Die Poissonschen Formeln für den Vollkreis und den Halbkreis.- 30. Bestimmte Integrale rationaler und trigonometrischer Funktionen.- 31. Die Cauchyschen Integralsätze in allgemeinen Gebieten von endlichem Zusammenhang.- 32. Nullhomologe und nullhomotope Kurven. Die allgemeine Form des Fundamentalsatzes der Funktionentheorie.- 33. Homologie- und Homotopiegruppen. Mehrdeutige Funktionen.- 34. Literaturhinweise.- Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel.- 1. Definition der trigonometrischen Funktionen..- 2. Nullstellenfragen..- 3. Residuen von cotg ?z bzw. 1/sin ?z..- 4. Die Formel von Plana-Abel-Cauchy..- 5. Eine allgemeine Formel von Cauchy. Der Satz von Rouché..- 6. Die Ungleichungen von Hadamard und Borel..- 7. Eine Ungleichung von Borel und Carathéodory..- 8. Eine Verallgemeinerung des Cauchy-Liouvilleschen Satzes..- 9. Aufgaben..- 10. Ein Satz von Liouville..- 11. Eine Ungleichung von H. A. Schwarz..- Zweiter Teil Die Grundlagen der Riemann-Weierstraßschen Funktionentheorie.- Fünftes Kapitel Erzeugung analytischer Funktionen durch Grenzprozesse Der Riemann-Weierstraßsche Begriff der analytischen Funktion.- 35. Funktionenräume.- 36. Kompaktheitsfragen. Vorbereitende Tatsachen.- 37. Die Sätze von Ascoli und Vitali.- 38. Reihen. Unendliche Produkte. Integrale.- 39. Der Weierstraß sehe Begriff der analytischen Funktion. Der Satz von Poincaré-Volterra.- 40. Analytische Fortsetzung in der Nähe einer isolierten singulären Stelle. Algebraische Funktionselemente.- 41. Der Begriff des analytischen Gebildes.- 42. Der Begriff der Riemannschen Fläche. Überlagerungsflächen.- 43. Nicht fortsetzbare Reihen. Der Turánsche Beweis des Fabryschen Lückensatzes.- 44. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum fünften Kapitel.- 1. Ein Beweis des Auswahlsatzes..- 2. Der Satz von Mittag-Leffler..- 3. Nochmals die trigonometrischen Funktionen..- 4. Die Weierstraßsche Produktdarstellung von w (z)..- 5. Die elliptischen Funktionen..- 6. Additionsformeln..- 7. Der Monodromiesatz..- 8. Das Weierstraßsche Permanenzprinzip der Funktionalgleichungen..- 9. Algebroide und algebraische Funktionen..- 10. P?lyas Vermutung über Potenzreihen mit Fabry-Lücken..- 11. Ostrowskis Vertiefung des Hadamardschen Lückensatzes..- 12. Mordells Beweis des Hadamardschen Lückensatzes..- 13. Ein Satz von Fatou und P?lya..- 14. Die Umkehrung einer Potenzreihe..- Sechstes Kapitel Die Eulersche Gammafunktion und die Riemannsche Zetafunktion.- 45. Konvexe bzw. logarithmisch konvexe Funktionen.- 46. Der Satz von Bohr und Mollerup.- 47. Funktionalgleichungen.- 48. Das asymptotische Verhalten von ?(s).- 49. Dirichlet-Reihen. Die Zetafunktion von Riemann.- 50. Zahlentheoretische Eigenschaften von ? (s). Die Eulersche Produktdarstellung und der Satz von Hadamard-Dela Vallée-Poussin.- 51. Beweis des Primzahlsatzes.- 52. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel.- 1. Ein allgemeiner Satz von Hurwitz..- 2. Zwei Funktionalgleichungen von Legendre..- 3. Kummers Fourier-Entwicklung von log ? (?)..- 4. Die Konvergenzabszissen einer allgemeinen Dirichlet-Reihe..- 5. Der Abelsche Grenzwertsatz für allgemeine Dirichlet-Reihen..- 6. Der Satz von Vivanti-Pringsheim-Landau..- 7. Fabrys Lückensatz für Dirichlet-Reihen..- 8. Ein Satz von Harald Bohr..- 9. Der Fall linear unabhängiger Exponenten..- 10. Die Laurent-Weierstraßsche Entwicklung der Zetafunktion..- Dritter Teil Maximumprinzip und Werteverteilung.- Siebentes Kapitel Majorisierungs- und Wachstumsprobleme.- 53. Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen.- 54. Carlemans Prinzip der harmonischen Majorisierung. Lindelöfs Verallgemeinerung des Maximumprinzips.- 55. Konvexitätseigenschaften des Maximums von subharmonischen Funktionen. Der Dreikreisesatz von Hadamard und das Schwarzsche Lemma.- 56. Einbeziehung der Nullstellen von w (z). Blaschkesche Sätze.- 57. Die Formel von Carleman und der Satz von Carlson-Nevanlinna.- 58. Zwei Sätze von Lindelöf.- 59. Der allgemeine Konvexitätssatz. Der Satz von Wiman.- 60. Der Satz von Denjoy-Carleman-Ahlfors.- 61. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturnachweis.- Ergänzungen und Aufgaben zum siebenten Kapitel.- 1. Eine wichtige Identität..- 2. Nochmals das Maximumprinzip..- 3. Eine Ungleichung von Ahlfors..- 4. Verallgemeinerung des vorstehenden Ergebnisses..- 5. Der Satz von Julia-Wolff-Carathéodory..- 6. Der Satz von Milloux-Schmidt..- 7. Ein Satz von Fatou und Riesz..- Achtes Kapitel Geometrische Funktionentheorie. Konforme Abbildung.- 62. Nochmals die linearen Transformationen.- 63. Fixpunkte. Elliptische, hyperbolische und parabolische Transformationen.- 64. Spiegelung an einem Kreis. Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.- 65. Zusammenhänge mit der hyperbolischen Geometrie. Picks Formulierung des Schwarzschen Lemmas.- 66. Schlichte Funktionen. Der Riemannsche Abbildungssatz.- 67. Das Dirichletsche Problem. Greensche Funktion und harmonisches Maß.- 68. Approximationsfragen. Die Symmetrieeigenschaft der Greenschen Funktion. Lindelöfs Kontraktionstheorem.- 69. Funktionen auf Riemannschen Flächen. Konstruktion der Modulfunktion durch das Spiegelungsprinzip.- 70. Kapazitätsfragen. Die Evans-Selbergsche Funktion.- 71. Anwendung der Modulfunktion auf den Beweis der Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 72. Blochs Methode zum Beweis der Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 73. Der allgemeine Satz von Picard und der Satz von Julia.- 74. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum achten Kapitel.- 1. Der isometrische Kreis einer linearen Transformation..- 2. Der Fundamentalbereich einer Gruppe..- 3. Der Begriff der automorphen Funktion..- 4. Eine Ungleichung von Plemelj und Carathéodory..- 5. Der Verzerrungssatz von Koebe und Bieberbach.- 6. Der Drehungssatz von Bieberbach-Golusin..- 7. Das Koeffizientenproblem..- 8. Die konforme Abbildung eines Polygons auf eine Halbebene..- 9. Der Ahlforssche Verzerrungssatz..- 10. Kanonische konforme Abbildungen..- 11. Carathéodorys Verschärfung des großen Picardschen Satzes..- 12. Eine Ungleichung von Ostrowski-Nevan-Linna..- 13. Das Normalitätskriterium von Carathéodory und Landau..- 14. Der Montelsche Beweis des Picardschen Satzes..- 15. Nochmals der Satz von Julia..- 16. Das Problem der Ränderzuordnung..- 17. Ein Satz von Picard..- 18. Das Uniformisierungsproblem..- 19. Durchführung des Uniformisierungsbeweises..- 20. Das alternierende Verfahren von Schwarz..- 21. Der transfinite Durchmesser einer Punktmenge..- Neuntes Kapitel Eindeutige analytische Funktionen in der Umgebung einer wesentlichen isolierten Singularität.- 75. Die Wachstumscharakteristik einer meromorphen Funktion.- 76. Der Nevanlinnasche Konvexitätssatz der charakteristischen Funktion.- 77. Charakterisierung rationaler Funktionen.- 78. Der Begriff der lokalen Charakteristik. Charakterisierung der Stellen rationalen Charakters.- 79. Der Nevanlinnasche Invarianzsatz. Der Begriff der Ordnung und des Konvergenzexponenten.- 80. Die Ordnung eines kanonischen Produktes. F. Nevanlinnas Beweis der Produktdarstellung einer meromorphen Funktion.- 81. Der Nevanlinnasche Hauptsatz der Werteverteilungstheorie.- 82. Die Nevanlinnasche Defektrelation.- 83. Der Satz von Picard-Borel.- 84. Meromorphe Funktionen im Einheitskreis.- 85. Geschichtliche Zusammenhänge und Literaturangaben.- Ergänzungen und Aufgaben zum neunten Kapitel.- 1. Littlewoods Begriff der subordinierten Funktion. Lehtos Maximumprinzip..- 2. Eine Ungleichung von Ahlfors..- 3. Nochmals der Picard-Borelsche Satz..- 4. Beurlings Verallgemeinerung eines Satzes von Fatou..- 5. Die Theorie von Nevanlinna-af HÄllström..- 6. Die Nevanlinna-Selbergsche Theorie der algebroiden Funktionen..- 7. Umkehrung des Nevanlinnaschen Fundamentalsatzes..- 8. Abhängigkeit des Defektes von der Wahl des Nullpunktes..- 9. Ein allgemeiner Satz über die Defektmenge einer meromorphen Funktion..- Namen- und Sachverzeichnis.

Produktinformationen

Titel: Vorlesungen über Funktionentheorie
Autor:
EAN: 9783642948190
ISBN: 978-3-642-94819-0
Format: Kartonierter Einband
Herausgeber: Springer Berlin Heidelberg
Genre: Mathematik
Anzahl Seiten: 420
Gewicht: 623g
Größe: H236mm x B159mm x T25mm
Jahr: 2012
Auflage: Softcover reprint of the original 1st ed. 1961
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