Bei der Herausgabe der KLEINschen Vorlesung über die hyper geometrische Funktion erschienen nur zwei Wege gangbar: Entweder eine durchgreifende Umarbeitung, auch im großen, oder eine möglichst weitgehende Erhaltung der ursprünglichen Form. Vor allem auch aus historischen Gründen wurde der letztere Weg beschritten. Daher ist die Anordnung des Stoffes erhalten geblieben; e,s ist nur, von kleinen Änderungen abgesehen, ein Exkurs über homogene Schreibweise aus der KLEINschen Vorlesung über lineare Differentialgleichungen ein gefügt, ferner sind die Schlußbemerkungen zur geometrischen Theorie im Falle komplexer Exponenten als durch die Arbeiten von F. SCHILLING überholt, weggelassen. Aus dem obengenannten Grunde sind beispiels weise auch Entwicklungen beibehalten worden, die heute schon dem Anfänger geläufig sind (etwa die Ausführungen über stereographische Projektion). In Rücksicht auf möglichste Erhaltung der KLEINschen Darstellung sind ferner Hinweise des Herausgebers auf inzwischen ge machte Fortschritte der Wissenschaft vom Texte getrennt als Anmerkun gen am Schluß zusammengestellt. Diese Hinweise erheben aber in keiner Weise den Anspruch auf Vollständigkeit. Bei der nicht zu um gehenden Revision des Textes im einzelnen ist, dem oben angegebenen Gesichtspunkt entsprechend, möglichste Wahrung des persönlichen KLEINschen Stils angestrebt. übrigens habe ich darauf Bedacht genommen, auch dem A nlänger die Lektüre durch Anmerkungen und durch Nachweise der KLEINschen Zitate zu erleichtern. Denn zweifellos bieten gerade diese Vorlesungen eine treffliche Ergänzung und Weiterführung dessen, was der Studierende mittleren Semesters an Geometrie und Funktionentheorie kennen gelernt hat.

Autorentext

Felix Klein (1849-1925) was a leading German mathematician whose research interests included group theory, complex analysis, and geometry. His work influenced many areas of mathematics and related subjects, ranging from mathematical physics to mathematical didactics.To this day, Felix Klein is considered one of the most important mathematicians of the 19th century.

Inhalt
Vorbemerkung.- Einleitung: Erstes Auftreten der hypergeometrischen Funktion: Reihe, Differentialgleichung, bestimmtes Integral.- Erster Abschnitt: Die hypergeometrische Reihe F(a, b; c; x).- Zweiter Abschnitt: Die hypergeometrische Differentialgleichung.- Dritter Abschnitt: Darstellung der hypergeometrischen Funktion durch bestimmte Integrale.- Vierter Abschnitt: Abschließende Bemerkungen zu Riemanns Abhandlung aus dem Jahre 1857.- Erster Abschnitt: Differentialgleichung dritter Ordnung für ?.- Zweiter Abschnitt: Übersicht über die sphärische Trigonometrie.- Dritter Abschnitt: Der Fundamentalbereich der ?-Funktion.- Vierter Abschnitt: Einleitung.- Fünfter Abschnitt: Genaueres Studium der Dreiecke.- Sechster Abschnitt: Funktionentheoretische Bedeutung der Figuren.- Siebenter Abschnitt: Analytische Fortsetzung der ?-Funktion.- Achter Abschnitt: Zurückführung auf niedere Funktionen (Erste Anwendung des Symmetrieprinzips).- Neunter Abschnitt: Zurückführung auf eindeutige Funktionen (Zweite Anwendung des Symmetrieprinzips).- Anmerkungen.