Dies ist ein Lehrbuch zum Thema Codierungstheorie in englischer Sprache. Das Ziel der Codierungstheorie ist der Entwurf eines effektiven Transformierungssystems für Informationen. Die mathematische Behandlung führt zu bestimmten endlichen Strukturen: fehlerkorrigierende Codes. Überraschenderweise stellt sich heraus, dass Zusammenhänge, die für den Entwurf solcher Codes interessant sind, eng mit Problemen, die zuvor und unabhängig davon in der Reinen Mathematik studiert wurden, verwandt sind. Dieses Buch handelt von einem Beispiel für eine solche Verwandtschaft: die von Codes und Gittern. Gitter werden in der Zahlentheorie und in der Zahlengeometrie studiert. Viele Probleme in bezug auf Codes haben ihr Gegenstück in Gittern und Kugelpackungen.
In der 2. Auflage wurden zahlreiche Korrekturen angebracht. Es wurden einige Abschnitte ergänzt, die den Text noch mehr in sich abgeschlossen machen. Ein neuer Abschnitt über die Automorphismengruppe des Leechgitters wurde hinzugefügt. Hinweise auf neue Resultate wurden aufgenommen. Schließlich wurde der Text um mehrere neue Übungsaufgaben (teilweise mit Lösungshinweisen) ergänzt.

Autorentext

Prof. Dr. Wolfgang Ebeling, Department of Mathematics, Universität Hannover, Germany.

Klappentext

In the 2nd edition numerous corrections have been made. More basic material has been included to make the text even more self-contained. A new section on the automorphism group of the Leech lattice has been added. Some hints to new results have been incorporated. With several new exercises.

Inhalt

1 Lattices and Codes.- 1.1 Lattices.- 1.2 Codes.- 1.3 From Codes to Lattices.- 1.4 Root Lattices.- 1.5 Highest Root and Weyl Vector.- 2 Theta Functions and Weight Enumerators.- 2.1 The Theta Function of a Lattice.- 2.2 Modular Forms.- 2.3 The Poisson Summation Formula.- 2.4 Theta Functions as Modular Forms.- 2.5 The Eisenstein Series.- 2.6 The Algebra of Modular Forms.- 2.7 The Weight Enumerator of a Code.- 2.8 The Golay Code and the Leech Lattice.- 2.9 The MacWilliams Identity and Gleason's Theorem.- 2.10 Quadratic Residue Codes.- 3 Even Unimodular Lattices.- 3.1 Theta Functions with Spherical Coefficients.- 3.2 Root Systems in Even Unimodular Lattices.- 3.3 Overlattices and Codes.- 3.4 The Classification of Even Unimodular Lattices of Dimension 24.- 4 The Leech Lattice.- 4.1 The Uniqueness of the Leech Lattice.- 4.2 The Sphere Covering Determined by the Leech Lattice.- 4.3 Twenty-Three Constructions of the Leech Lattice.- 4.4 Embedding the Leech Lattice in a Hyperbolic Lattice.- 4.5 Automorphism Groups.- 5 Lattices over Integers of Number Fields and Self-Dual Codes.- 5.1 Lattices over Integers of Cyclotomic Fields.- 5.2 Construction of Lattices from Codes over 𝔽p.- 5.3 Theta Functions over Number Fields.- 5.4 The Case p = 3: Ternary Codes.- 5.5 The Equation of the Tetrahedron and the Cube.- 5.6 The Case p = 5: the Icosahedral Group.- 5.7 Theta Functions as Hilbert Modular Forms (by N.-P. Skoruppa).