Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese zentrale Fragestellung sollen hier vorausgeschickt werden. Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement un beschränkt fortgesetzt. Angenommen, daß die so entstehende analytische Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G mit z nachstehenden Eigenschaften. 1. Jedem inneren Punkt z von G entspricht ein und nur ein Element z von rationalem Charakter der Funktion w(z). 2. Jeder Randpunkt z* von G ist eine wesentliche Singularität z von w(z). Falls G die ganze geschlossene Ebene umfaßt (elliptischer Fall), z so ist w (z) eine rationale Funktion. Schließt man diesen einfachsten Sonderfall aus, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem G z einfach oder mehrfach rusammenhängend ist. Wir beschränken uns auf den erstgenannten Fa}! und haben dann weitere zwei Möglichkeiten zu berücksichtigen: die Berandung r von G ist entweder ein Punkt z z (parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall). Das Gebiet G wird durch die Funktion w = w (z) auf eine über der z w-Ebene ausgebreitete RIEMANNSche Fläche G .konform abgebildet. to Die Umkehrfunktion z = z(w) von w(z) ist eine auf dieser Fläche G to eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion, d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z(w) sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.

Inhalt
I. Konforme Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Gebiete.- II. Lösung des Dirichletschen Problems für ein schlichtes Gebiet.- III. Funktionentheoretische Majorantenprinzipien.- IV. Beziehungen zwischen nichteuklidischen und euklidischen Maßbestimmungen.- V. Punktmengen vom harmonischen Maß Null.- VI. Erster Hauptsatz der Theorie der meromorphen Funktionen.- VII. Beschränktartige Funktionen.- VIII. Meromorphe Funktionen endlicher Ordnung.- IX. Zweiter Hauptsatz der Theorie der meromorphen Funktionen.- X. Anwendung des zweiten Hauptsatzes.- XI. Die Riemannsche Fläche einer einwertigen Funktion.- XII. Der Typus einer Riemannschen Fläche.- XIII. Die Ahlforssche Theorie der Überlagerungsflächen.