This textbook explains Lie groups and their use in solving differential equations. It covers ordinary and partial differential equations of various orders, allowing the reader to select particular examples. The modular and easily understandable structure makes the book ideal for students and researchers who are working with mathematical models.

Autorentext

Nail H. Ibragimov, Blekinge Institute of Technology, Sweden; Jörg Volkmann, Germany.

Inhalt

1 Ausgewählte Kapitel der Analysis
1.1 Elementare MathemaTIK
1.1.1 Zahlen, Variable und elementare Funktionen
1.1.2 Quadratische und kubische Gleichungen
1.1.3 Inhalte ähnlicher Figuren am Beispiel der Ellipse#
1.1.4 Algebraische Kurven zweiter Ordnung
1.2 Differential- und Integralrechnung
1.2.1 Regeln zur Differentiation
1.2.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
1.2.3 Invarianzeigenschft der Differentiale
1.2.4 Regeln zur Integration
1.2.5 Die Taylor-Reihe
1.2.6 Komplexe Variable
1.2.7 Approximation von Funktionen
1.2.8 Jacobi-Matrix, funktionale Unabhängigkeit, Variablentransformation in Mehrfachintegralen
1.2.9 Lineare Unabhängigkeit von Funktionen. Die Wronski-Determinante
1.2.10 Integration durch Quadratur
1.2.11 Differentialgleichungen für Familien von Kurven
1.3 Vektoranalysis
1.3.1 Vektoralgebra
1.3.2 Vektorwertige Funktionen
1.3.3 Vektorfelder
1.3.4 Die drei klassischen Integralsätze
1.3.5 Die Laplace-Gleichung
1.3.6 Differentiation von Determinanten
1.4 Differential-algebraische Notationen
1.4.1 Differentierbare Variablen. Totale Ableitungen
1.4.2 Höhere Ableitungen von Produkten und zusammengesetzten Funktionen
1.4.3 Differentialfunktionen mehrerer Veränderlicher
1.4.4 Der Körper der Differentialgleichungen
1.4.5 Transformation von Ableitungen
1.5 Variationsrechnung
1.5.1 Prinzip vom kleinsten Zwang
1.5.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen in mehreren Veränderlichen
Aufgaben zu Kapitel 1

2. Mathematische Modelle
   2.1 Einleitung
   2.2 Natur-Phenomene
   2.2.1 Polulationsmodelle
   2.2.2 Ökologie: Radioaktive Abfallprodukte
   2.2.3 Die Keplerschen Gesetze und Newtons Gravitationsgesetz
   2.2.4 Der freie Fall eines Körpers in Erdnähe
   2.2.5 Meteoriten
   2.2.6 Ein Modell für fallenden Regen
   2.3 Beispiele aus Physik und Ingenieurswesen
   2.3.1 Newtons Abkühlgesetz
   2.3.2 Mechanische Schwingungen. Das Pendel
   2.3.3 Der Bruch betriebener Achsen
   2.3.4 Die van der Pol-sche Gleichung
   2.3.5 Telegraphengleichung
   2.3.6 Elektrodynamik
   2.3.7 Die Dirac-Gleichung
   2.3.8 Strömungsmechanik
   2.3.9 Die Navier-Stokes-Gleichungen
   2.3.10 Modell eines Bewässerungssystems
   2.3.11 Magnetohydrodynamik
   2.4 Diffusionsphenomene
   2.4.1 Die lineare Wärmeleitungsgleichung
   2.4.2 Die nichtlineare Wärmeleitungsgleichung
   2.4.3 Die Burgers- und Korteweg-de-Vries Gleichung
   2.4.4 Mathematisches Modellieren in der Finanzwirtschaft
   2.5 Biomathematik
   2.5.1 Flinke Champignons
   2.5.2 Ein Wachstumsmodell für Tumore
   2.6 Wellenphenomene
   2.6.1 Kleine Schwingungen eines Stabes
   2.6.2 Die schwingende Membran
   2.6.3 Minimalflächen
   2.6.4 Schwingungen schwacher Stäbe und Blechplatten
   2.6.5 Nichtlineare Wellen
   2.6.6 Die Gleichungen von Chaplygin und Tricomi
   Aufgaben zu Kapitel 2

3. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Traditionelle Methoden
   3.1 Einführung und elementare Methoden
   3.1.1 Differentialgleichungen. Anfangswertprobleme
   3.1.2 Die Integration der Gleichung y^(n) = f(x)
   3.1.3 Homogene Differentialgleichungen
   3.1.4 Verschiedene Arten der Homogenität
   3.1.5 Reduktion der Ordnung
   3.1.6 Linearisierung durch Differentiation
   3.2 Gleichungen erster Ordnung
   3.2.1 Separable Gleichungen
   3.2.2 Exakte Gleichungen
   3.2.3 Integrierender Faktor (A. Clairaut 1739)
   3.2.4 Riccati- Gleichung
   3.2.5 Bernoulli-Gleichung
   3.2.6 Homogene lineare Gleichung
   3.2.7 Inhomogene lineare Gleichungen. Variation der Konstanten
   3.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
   3.3.1 Homogene Gleichungen. Superposition
   3.3.2 Homogene Gleichungen. Äquivalenz-Eigenschaften
   3.3.3 Homogene Gleichungen. Konstante Koeffizienten
   3.3.4 Inhomogene Gleichungen. Variation der Parameter
   3.3.5 Besselsche Differentialgleichung und die Bessel-Funktionen
   3.3.6 Die hypergeometrische Gleichung
   3.4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung
   3.4.1 Homogene Gleichungen. Fundamentallösung
   3.4.2 Inhomogene Gleichungen. Variation der Konstanten
   3.4.3 Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
   3.4.4 Die Eulersche Differentialgleichung
   3.5 Systeme von Gleichungen erster Ordnung
   3.5.1 Allgemeine Eingenschaften von Systemen
   3.5.2 Erste Integrale
   3.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
   3.5.4 Variation der Konstanten bei Systemen
   Aufgaben zu Kapitel 3

4. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
   4.1 Einführung
   4.2 Homogene lineare Gleichungen
   4.3 Teilweise inhomogene Gleichungen
   4.4 Quasi-lineare Gleichungen
   4.5 Systeme von homogenen Gleichungen
   Aufgaben zu Kapitel 4

5. Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung+
   5.1 Gleichungen in mehreren Variablen
   5.1.1 Klassifikation in einem festen Punkt
   5.1.2 Adjungierte lineare Differentialoperatoren
   5.2 Klassifikation von Gleichungen in zwei unabhängigen Variablen
   5.2.1 Charakteristiken. Drei Typen von Gleichungen
   5.2.2 Die Standardform hyperbolischer Gleichungen
   5.2.3 Die Standardform parabolischer Gleichungen
   5.2.4 Die Standardform elliptischer Gleichungen
   5.2.5 Gleichungen gemischten Typs
   5.2.6 Typen nichtlinearer Gleichung
   5.3 Die Integreation hyperbolischer Gleichungen in zwei Variablen
   5.3.1 Gleichungen, reduzierbar auf die Wellengleichung
   5.3.2 Die Methode von Euler
   5.3.3 Die Laplacesche Kaskadenmethode
   5.4 Anfangswertprobleme
   5.4.1 Die Wellengleichung
   5.4.2 Inhomogene Wellengleichung
   5.5 Gemischte Probleme. Separation der Variablen
   5.5.1
   5.5.2 Gemischte Aufgaben für die Wärmeleitungsgleichung
   Aufgaben zu Kapitel 5

6. Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
   6.1 Einführung
   6.2 Transformationsgruppen
   6.2.1 Einparametrige Gruppen in der Ebene
   6.2.2 Gruppengeneratoren und die Lie-Gleichungen
   6.2.3 Die Exponentialabbildung
   6.2.4 Invariante und invariante Gleichungen
   6.2.5 Kanonische Variable
   6.3 Symmetrien von Gleichungen erster Ordnung
   6.3.1 Erste Prolongation des Gruppengenerators
   6.3.2 Die Symmetrie-Gruppe: Definition und Eigenschaften
   6.3.3 Gleichungen mit einer gegebenen Symmetrie
   6.4 Integration von Gleichungen erster Ordnung mittels Symmetrien
   6.4.1 Der Liesche integrierende Faktor
   6.4.2 Die Integration unter Anwendung der kanonischen Variablen
   6.4.3 Invariante Lösungen
   6.4.4 Erzeugung allgemeiner Lösungen aus invarianten Lösungen
   6.5 Gleichungen zweiter Ordnung
   6.5.1 Zweite Prolongation des Gruppengenerators. Berechnung von Symmetrien
   6.5.2 Lie - Algebren
   6.5.3 Standardformen zwei-dimensionaler Lie - Algebren
   6.5.4 Die Liesche Integrationsmethode
   6.5.5 Integration linearer Gleichungen mit bekannten partikulären Lösungen
   6.5.6 Der Liesche Test zur Linearisierung
   6.6 Gleichungen höherer Ordnung
   6.6.1 Invariante Lösugen. Herleitung des Eulerschen Ansatzes
   6.6.2 Integrierender Faktor (N. H. Ibragimov 2006)
   6.6.3 Linearisierung von Gleichungen dritter Ordnung
   6.7 Nichtlineare Superposition
   6.7.1 Einführung
   6.7.2 Hauptsatz zur nichtlinearen Superposition
   6.7.3 Beispiele nichtlinearer Superposition
   6.7.4 Integration von Systemen unter Verwendung nichtlinearer Superposition
   Aufgaben zu Kapitel 6

7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen
   7.1 Symmetrien
   7.1.1 Definition und Berechnung von Symmetriegruppen
   7.1.2 Gruppentransformation von Lösungen
   7.2 Gruppen-invariante Lösungen
   7.2.1 Einführung
   7.2.2 Die Burgers Gleichung
   7.2.3 Ein nichtlineares Randwertproblem
   7.2.4 Invariante Lösungen für ein nichtlineares Randwertproblem
   7.2.5 Invariante Lösungen für ein Tum…