Dieses Buch ist keine Forschungsmonographie zum Malliavin-Kalkül mit neuesten Ergebnissen und besonders anspruchsvollen Beweisen. Es enthält nicht alle Ergebnisse, die für die behandelten grundlegenden Themen bekannt sind. Das Ziel ist vielmehr, eine möglichst große Vielfalt an Beweistechniken zu bieten. Zum Beispiel haben wir uns nicht auf den Beweis der Konzentrationsungleichung für Funktionale der Brownschen Bewegung konzentriert, da er sich eng an das analoge Ergebnis für Poisson-Funktionale anlehnt. Dieses Buch ist aus den Graduiertenkursen entstanden, die ich in den letzten Jahren an den Universitäten Paris-Sorbonne und Paris-Saclay gehalten habe. Es soll so zugänglich wie möglich für Studierende sein, die über Kenntnisse der Itô-Kalkulation und einige Grundlagen der Funktionalanalysis verfügen.

Die Übersetzung wurde mit Hilfe von künstlicher Intelligenz durchgeführt. Eine anschließende menschliche Überarbeitung erfolgte vor allem in Bezug auf den Inhalt.

Bietet eine pädagogische und in sich geschlossene Einführung in die Malliavin-Rechnung Behandelt einige der modernsten Anwendungen der Malliavin-Rechnung wie die Malliavin-Stein-Methode Veranschaulicht die Zusammenhänge zwischen der Malliavin-Rechnung und der Funktionsanalyse im Maßraum

Autorentext

Laurent Decreusefond ist ein ehemaliger Student der Ecole Normale Supérieure de Paris-Saclay. Er erhielt 1989 die Agrégation, 1994 den Doktortitel und 2001 die Habilitation in Mathematik. Heute ist er ordentlicher Professor für Mathematik am Institut Polytechnique de Paris, einer der renommiertesten französischen Forschungs- und Lehreinrichtungen. Seine Forschungsthemen sind zweigeteilt. Der theoretische Teil ist der Malliavin-Rechnung und ihren Anwendungen gewidmet. Er ist der Autor einer viel zitierten Arbeit über die fraktionierte Brownsche Bewegung, die den Weg zu tausend Forschungsartikeln ebnete. In letzter Zeit hat er sich für die funktionale Stein-Malliavin-Methode interessiert, die die Konvergenzrate in funktionalen Grenzwertsätzen liefert. In einem eher angewandten Bereich schlug er neue Paradigmen für die stochastische Modellierung von Telekommunikationssystemen vor, darunter stochastische Geometrie und zufällige topologische Algebra. Er war Mitverfasser mehrerer Arbeiten, die einen neuen Ansatz für die Analyse der Abdeckung von zellularen Systemen lieferten. Die Leistung einiger der so definierten Algorithmen kann mit mathematischen Werkzeugen aus dem Malliavin-Kalkül analysiert werden, z. B. mit Konzentrationsungleichungen.

Inhalt

1. Wiener Raum.- 2 Gradient und Divergenz.- 3. das Wiener Chaos.- 4. Fraktionale Brownsche Bewegung.- 5. Poisson Raum.- 6. Die Malliavin-Stein Methode.