Lineare Operatoren in Hilberträumen

Die im ersten Teil des Buchs dargestellten Grundlagen der Theorie der linearen Operatoren in Hilberträumen werden hier benutzt, um die Spektraltheorie von Ein- und Mehrteilchen-Schrödingeroperatoren sowie des Dirac-Operators eingehend zu untersuchen. Die Grundlagen der "einfachen" Streutheorie, sowie deren wichtigste Resultate der letzten Jahrzehnte werden ausführlich dargestellt; abschließend werden die Grundprinzipien der Mehr-Kanal-Streuung entwickelt.

Die im Teil I "Lineare Operatoren in Hilberträumen" dargestellten Grundlagen werden in diesem zweiten Teil benutzt, um die Spektraltheorie von Ein- und Mehrteilchen-Schrödingeroperatoren sowie des Dirac-Operators eingehend zu untersuchen. Eine einfache Darstellung der Methode der Separation der Variablen und der Kugelfunktionen erlaubt es, viele Operatoren durch Separation der Variablen auf einfachere zurückzuführen und damit sehr detaillierte Resultate über deren Spektren zu erzielen. Die Grundlagen der "einfachen" Streutheorie sowie deren wichtigste Resultate der letzten Jahrzehnte werden ausführlich dargestellt.

Autorentext

Prof. Dr. Joachim Weidmann, Universität Frankfurt

Inhalt
Symbolverzeichnis.- 12 Spektrale Teilräume eines selbstadjungierten Operators.- 12.1 Abstrakte Definition der spektralen Teilräume.- 12.2 Dynamische Charakterisierung der spektralen Teilräume.- 12.3 Zur Voraussetzung des RAGE-Theorems.- 13 Sturm-Liouville-Operatoren; Selbstadjungiertheit.- 13.1 Voraussetzungen; minimaler und maximaler Operator.- 13.2 Selbstadjungierte Realisierungen im regulären Fall.- 13.3 Die Weylsche Alternative; Selbstadjungierte Realisierungen im allgemeinen Fall.- 13.4 Grenzpunkt-Grenzkreisfall-Kriterien.- 13.5 Übungen.- 14 Sturm-Liouville-Operatoren; Spektraltheorie.- 14.1 Spektraldarstellung von Sturm-Liouville-Operatoren.- 14.2 Variation der Randbedingung.- 14.3 Approximation durch reguläre Probleme.- 14.4 Die Technik der Prüfertransformation.- 14.5 Absolut stetiges Spektrum.- 14.6 Übungen.- 15 Dirac-Systeme.- 15.1 Minimaler und maximaler Operator.- 15.2 Selbstadjungierte Realisierungen im regulären Fall.- 15.3 Die Weylsche Alternative; Selbstadjungierte Realisierungen im allgemeinen Fall.- 15.4 Grenzpunkt-Grenzkreisfall-Kriterien.- 15.5 Spektraldarstellung von Diracsystemen.- 15.6 Prüfertransformation für Diracsysteme.- 15.7 Absolut stetiges Spektrum.- 16 Periodische Sturm-Liouville-Operatoren und Dirac-Systeme.- 16.1 Diskriminante, Stabilitätsintervalle und Spektrum.- 16.2 Methode der direkten Integrale.- 17 Ein-Teilchen-Schrödingeroperatoren.- 17.1 Vorbemerkungen.- 17.2 Schrödingeroperatoren mit (-?)-kleinen Wechselwirkungen.- 17.3 Eigenwerte von Schrödingeroperatoren.- 17.4 Einfachheit des Grundzustandes.- 17.5 Schrödingeroperatoren mit großen Wechselwirkungen.- 17.6 Übungen.- 18 Separation der Variablen und Kugelflächenfunktionen.- 18.1 Zwei Separationsansätze.- 18.2 Kugelflächenfunktionen.- 18.3 Sphärischsymmetrische Schrödingeroperatoren.- 18.4 Übungen.- 19 Spektraltheorie von N-Teilchen-Schrödingeroperatoren.- 19.1 N-Teilchen-Operatoren.- 19.2 N-Teilchen-Systeme im äußeren Feld; Separation der Schwerpunktsbewegung.- 19.3 Die untere Grenze des wesentlichen Spektrums.- 19.4 Das wesentliche Spektrum von N-Teilchen-Schrödingeroperatoren.- 20 Diracoperatoren.- 20.1 Der freie Diracoperator.- 20.2 Diracoperatoren mit elektrischem Feld.- 20.3 Reduktion sphärisch symmetrischer Operatoren auf Dirac-Systeme.- 21 Grundbegriffe der Streutheorie.- 21.1 Vorbemerkungen.- 21.2 Die Wellenoperatoren.- 21.3 Streuoperator und Streumatrix.- 21.4 Übungen.- 22 Existenz der Wellenoperatoren.- 22.1 Das Cooksche Lemma.- 22.2 Existenz von W±(T2, Tl) für Differentialoperatoren Tl.- 22.3 Spurklassenmethode; der Satz von Pearson.- 22.4 Folgerungen aus dem Satz von Pearson.- 23 Ein eindimensionales Streuproblem.- 23.1 Spektraldarstellungen und Streumatrix.- 23.2 Konstruktion der Spektraldarstellung von T2.- 23.3 Die Streumatrix für ein explizit lösbares Problem.- 24 Existenz und Vollständigkeit der Wellenoperatoren nach V. Enß.- 24.1 Eigenschaften von Enß-Störungen und die Existenz der Wellenoperatoren.- 24.2 Exkurs über die Dilatationsgruppe und ihren Generator.- 24.3 Ein- und auslaufende Zustände; der Zerlegungssatz.- 24.4 Abschluß des Beweises des Satzes von Enß.- 25 Prinzipien der Mehrkanalstreuung.- 25.1 Vorüberlegungen.- 25.2 N-Teilchen-Streuung ohne äußeres Feld.- 25.3 N-Teilchen-Streuung im äußeren Feld.- Literatur.