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Analysis 1

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Beschreibung

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch bietet dem Studienanfänger aus Physik und Ingenieurwissenschaften, der Praxis im Umgang mit der Mathematik erwerben möchte, durch Darstellung und didaktische Gestaltung wertvolle Hilfestellung bei der Erarbeitung mathematischen Grundwissens. Die Gestaltung des Textes, die den Leser immer wieder anregt, Gedankenschritte selbst zu vollziehen, weiterzuführen, Verbindungen herzustellen, Rechnungen nachzuvollziehen und die eigenen Kenntnisse zu überprüfen, bietet hier größtmögliche Unterstützung. Stoffauswahl und Reihenfolge orientieren sich so weit wie möglich an den Bedürfnissen der den Studenten primär interessierenden Wissenschaftsgebiete. Immer wieder werden anwendungsbezogene Beispiele gegeben und ausführlich bearbeitet. Definitionen und Sätze sind vollständig formuliert. Beweise werden nur da weggelassen, wo sie weder dem Verständnis des Satzes noch dem Einüben bestimmter Schlußweisen oder Begriffe dienen. Bei der Bearbeitung der ca. 250 Aufgaben wird dem Studenten eine gestufte Hilfestellung in Form von Lösungshinweisen und der kompletten Lösung gegeben.

Inhalt
1. Die Reellen Zahlen.- § 1 Mengen.- § 2 Funktionen.- Definitionen und Beispiele.- Die Komposition von Funktionen.- Die Umkehrfunktion.- Bijektive Funktionen.- § 3 Die reellen Zahlen.- Die Zahlengerade.- Die arithmetischen Eigenschaften von ?.- Ungleichungen.- Intervalle.- Definition und Eigenschaften der Wurzel.- Der Betrag.- Zusammenfassung.- 2. Vollständige Induktion.- § 1 Beweis durch vollständige Induktion.- Erklärung des Summenzeichens.- § 2 Rekursive Definitionen.- § 3 n-te Potenz und n-te Wurzel.- Eigenschaften der n-ten Potenz.- Die n-te Wurzel.- Die binomische Formel.- Zusammenfassung.- 3. Die Komplexen Zahlen.- § 1 Definition und Veranschaulichung.- § 2 Der Körper C der komplexen Zahlen.- Rechengesetze in C.- ? als Teilmenge von C.- § 3 Realteil, Imaginärteil, Betrag.- Realteil, Imaginärteil, Konjugierte.- Der Betrag.- § 4 Die Polarform.- § 5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl.- Zusammenfassung.- 4. Reelle und Komplexe Funktionen.- § 1 Definition der reellen Funktionen und Beispiele.- § 2 Monotone Funktionen.- § 3 Beispiele aus der Wechselstromlehre.- § 4 Rechnen mit reellen Funktionen.- § 5 Polynome.- Das Horner-Schema.- Nullstellen von Polynomen.- § 6 Komplexe Funktionen.- Komplexe Funktionen mit reellen Argumenten.- Zusammenfassung.- 5. Das Supremum.- § 1 Schranken, Maximum, Minimum, Supremum, Infimum.- § 2 Das Supremumsaxiom.- § 3 Eigenschaften von Supremum und Infimum.- § 4 Supremum und Maximum bei Funktionen.- § 5 Dual-, Dezimal- und Hexadezimalzahlen.- Zusammenfassung.- 6. Folgen.- § 1 Definition.- § 2 Monotonie und Beschränktheit.- Beschränktheit.- Monotonie.- Monotone beschränkte Folgen.- § 3 Konvergenz und Divergenz.- Konvergenz.- Divergenz.- Rechenregeln für konvergente Folgen.- Beispiele.- Rekursiv definierte Folgen.- § 4 Komplexe Folgen.- Zusammenfassung.- 7. Einführung in die Integralrechnung.- § 1 Beispiele.- § 2 Obersumme und Untersumme.- § 3 Die Definition des Integrals.- § 4 Das Riemannsche Integrabilitätskriterium.- Integrierbarkeit monotoner Funktionen.- § 5 Integral als Grenzwert einer Folge.- Das Riemannsche Summen-Kriterium.- § 6 Numerische Integration.- Die Rechteckregel.- Die Trapezregel.- Die Simpsonregel.- § 7 Eigenschaften des Integrals.- Eigenschaften des Integrals bezüglich des Integrationsintervalls.- Eigenschaften bezüglich des Integranden.- Ungleichungen für Integrale.- Zusammenfassung.- 8. Reihen.- (Zenon's Paradoxon).- § 1 Beispiele.- § 2 Konvergente Reihen.- Geometrische Reihen.- Die Schneeflockenkurve.- Rechenregeln für konvergente Reihen.- Notwendiges Konvergenzkriterium.- § 3 Konvergenzkriterien.- Vergleichskriterien.- Wurzelkriterium.- Quotientenkriterium.- Alternierende Reihen.- § 4 Absolut konvergente Reihen.- Zusammenfassung.- 9. Potenzreihen und Spezielle Funktionen.- § 1 Potenzreihen.- Konvergenz von Potenzreihen.- Zusammenfassung: Potenzreihen als Funktionen.- § 2 Exponentialfunktion.- Definition der Exponentialfunktion.- Eigenschaften der Exponentialfunktion.- § 3 Sinus und Cosinus.- § 4 Hyperbelfunktionen.- Zusammenfassung.- 10. Stetige Funktionen.- § 1 Stetigkeit.- Grenzwerte von Funktionen.- Einseitige und uneigentliche Grenzwerte.- Stetige Funktionen.- Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion sind stetig.- Stetig auf [a,b]: Drei Sätze.- § 2 Anwendung auf spezielle Funktionen.- Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz.- Trigonometrische Funktionen.- § 3 Die ?-?-Definition der Stetigkeit und die Lipschitz-Stegigkeit.- § 4 Stetigkeit und Integration.- Zusammenfassung.- 11. Differentialrechnung.- § 1 Lineare Approximation.- § 2 Definition der Differenzierbarkeit.- § 3 Differenzierbare Funktionen.- § 4 Rechenregeln für differenzierbare Funktionen.- Summe, Produkt, Quotient.- Die Kettenregel.- Die Ableitung der Umkehrfunktion.- Differenzierbarkeit von Potenzreihen.- § 5 Die Ableitung komplexer Funktionen.- § 6 Höhere Ableitungen.- Aufgaben zum Einüben der Differentiationstechniken.- § 7 Beispiele von Differentialgleichungen und Lösungen.- Lösung der Schwingungsgleichung durch Potenzreihenansatz.- § 8 Der erste Mittelwertsatz.- Lokale Extrema.- Der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- Anwendungen des ersten Mittelwertsatzes.- § 9 Die Regeln von de L'Hôpital.- Zusammenfassung.- 12. Integralrechnung-Integrationstechnik.- § 1 Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung.- § 2 Die Stammfunktion.- § 3 Eine andere Formulierung des Hauptsatzes.- § 4 Integration zur Lösung einfachster Differentialgleichungen.- § 5 Das unbestimmte Integral.- § 6 Dié Integration komplexer Funktionen.- § 7 Integrationsmethoden.- Integranden der Form $$ \frac{{{\text{f}}^{\text{'}} }} {\text{f}} $$.- Partielle Integration.- Substitution.- Eine Umformulierung der Substitutionsregel.- Substitution bei bestimmten Integralen.- § 8 Separable Differentialgleichungen.- Lösungsmethode.- Merkregel.- Anfangswertprobleme.- § 9 Integration rationaler Funktionen.- 1. Schritt: Polynomdivision.- 2. Schritt: Polynomzerlegung.- 3. Schritt: Partialbruchzerlegung.- 4. Schritt: Integration rationaler Funktionen.- Kurze Merkregelsammlung.- Zusammenfassung.- 13. Uneigentliche Integrale.- § 1 Unbeschränktes Integrationsintervall.- Integrationsintervall ]?,? [.- Konvergenzkriterien.- § 2 Unbeschränkter Integrand.- Konvergenzkriterien.- § 3 Die Gairanafunktion.- § 4 Die Laplace-Transformation.- Linearität und elementare Laplace-Transformationen.- Bemerkungen zum Umkehrproblem.- Transformation von Ableitungen.- Transformation von f(at±b).- Verschiebung des Arguments in der Bildfunktion.- Kurze Übersicht.- Zusammenfassung.- 14. Taylorpolynome und Taylorreihen.- § 1 Approximation durch Polynome.- Approximation.- Taylorpolynome.- § 2 Restglied.- Restglied nach Taylor.- Anwendung: Funktionswerte berechnen.- Restglied nach Lagrange.- Restglied abschätzen.- Anwendung: Lokale Extrema.- § 3 Taylorreihen.- Definition.- Ein Gegenbeispiel.- Konvergenz der Taylorreihe.- Beispiel Logarithmus.- Beispiel Arcus-Tangens.- Beispiel Binomische Reihe.- Zusammenfassung.- Lösungen der Aufgaben.

Produktinformationen

Titel: Analysis 1
Untertitel: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für Studienanfänger
Autor:
EAN: 9783642974618
Digitaler Kopierschutz: Wasserzeichen
Format: E-Book (pdf)
Hersteller: Springer Berlin
Genre: Analysis
Anzahl Seiten: 335
Veröffentlichung: 13.03.2013
Auflage: 2. Aufl. 1993

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