Die zeitdiskreten Systeme, die in der Nachrichtentechnik und in der Regelungstechnik eine ständig wachsende Bedeutung bekommen, werden heute gewöhnlich durch die (infinite) Z-Transformation beschrieben. Gegenstand dieses Buches ist im Gegensatz dazu eine finite Beschrei bung dieser Systeme (ohne die Begriffe "kontinuierlich", "unendlich" und "konvergent"), die unmittelbar auf dem Digitalrechner implementierbar ist. Das wird dadurch möglich, daß man die Zeitfunktionen als per i- disehe Impulsfolgen annimmt. Das Buch ist das erweiterte Skriptum einer Vorlesung, die ich seit 1972 an der Technischen Hochschule Darmstadt halte. Abgesehen von
1, der einen kurzen Überblick über die konventionelle infinite Systemtheorie gibt, ist an mathematischen Vorkenntnissen lediglich die Matrizenalgebra erforder lieh. Ich danke den Herren Dr. -Ing. Hermann Kremer und Dipl. -Ing. Raimund L ü c k e r für fruchtbare Diskussionen und für die kritische Durchsicht des Manuskripts. Darmstadt, im Sommer 1976 Wilhelm Klein "Man kann die Ingenieure bedauern, die es so lange aufge schoben haben, sich mit der Laplace-Transformation zu befreunden, bis sie ins Museum verwiesen wurde. Aber so etwas ist schon öfter geschehen. Wir Mathematiker werden auch für unsere Fahrlässigkeit bestraft: Unsere Strafe ist die Aufgabe, ihnen die Laplace-Transformation nun wieder auszutreiben. " Der Mathematiker Hans Freudenthai im Jahre 1958 [9. S]. INHALT Seite 1

überblick über die infinite Systemtheorie 1. 1. Der Begriff des Systems 1 2 1. 2. Infinite und finite Systemtheorie 6 1. 3. DerZeitbereich 6 1. 3. 1. Impuls und Impulsantwort 6 1. 3. 2. Das Faltungsintegral 9 1. 4.

Inhalt
§ 1. Überblick über die infinite Systemtheorie.- 1.1. Der Begriff des Systems.- 1.2. Infinite und finite Systemtheorie.- 1.3. Der Zeitbereich.- 1.4. Der Frequenzbereich.- 1.5. Der Z-Bereich.- § 2. Der finite Zeitbereich.- 2.1. Zeitdiskrete Systeme.- 2.2. Die Pulsantwort und die zyklische Faltung.- 2.3. Zusammenhang mit der klassischen Systemtheorie.- 2.4. Die Z-Koeffizienten.- 2.5. Ermittlung der Ausgangsfunktion y aus der Eingangsfunktion x und den Z-Koeffizienten.- 2.6. Systemidentifikation bei überlappten Perioden.- 2.7. Dreiecksfaltung.- 2.8. Das Überlappen der Impulsantworten.- 2.9. Systemidentifikation bei nichtüberlappten Perioden.- 2. 10. Systemidentifikation bei fehlerhaften Meßwerten und unbekanntem Systemgrad.- 2.11. Realisierungen.- § 3. Der finite Z-Bereich.- 3.1. Die finite Z-Systemfunktion in der Quotientenform.- 3.2. Z-Systemfunktion und Impulsantwort.- 3.3. Zahlenbeispiel.- 3.4. Finite Z-Transformation mit komplexen Frequenzen.- 3.5. Die finite Laplacesystemfunktion in Produktform.- 3.6. Die Stabilität des Systems.- § 4. Anwendungen der finiten Fouriertransformation.- 4.1. Die Schnelle Fouriertransformation.- 4.2. Die reelle finite Fouriertransformation.- 4.3. Die Hauptachsentransformation von Toeplitzmatrizen.- 4.4. Schaltungen mit linearer Phase.- § 5. Interpolation und Abtastung.- 5.1. Bezeichnungen.- 5.2. Der ideale Abtaster.- 5.3. Das finite Abtasttheorem.- 5.4. Die frequenzbegrenzte Interpolationsfunktion.- 5.5. Zahlenbeispiel.- 5.6. Zeitkontinuierliche Interpolation.- 5.7. Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion.- § 6. Analyse und Synthese zeitdiskreter Systeme.- 6.1. Das Analyseverfahren.- 6.2. Das transponierte System.- § 7. Der Tangensfrequenzbereich.- 7.1. Die zyklischen Differenzenmatrizen.- 7.2. Die Systemfunktion imTangensfrequenzbereich.- 7.3. Der Zusammenhang zwischen der Z-Systemfunktion und der Systemfunktion im Tangensfrequenzbereich.- 7.4. Angenäherte Berechnung der Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen Systems.- 7.5. Entwurf eines zeitdiskreten Systems aus einem gegebenen Toleranzschema.- § 8. Streifen-Dreiecksmatrizen.- 8.1. Die Dreiecks-Differenzenmatrizen.- 8.2. Die Differenzenform der Differenzengleichung.- 8.3. Die Lösung der Differenzengleichung.- 8.4. Der Austausch der Anfangswerte.- 8.5. Beispiel: Die Differenzengleichung der Fibonaccischen Zahlen.- § 9. Die Operatorenrechnung.- 9.1. Die Heavisidesche Operatorenrechnung und ihre exakten Begründungen.- 9.2. Lösung der Differentialgleichung (2) mit der finiten Systemtheorie.- 9.3. Die finite Operatorenrechnung.- § 10. Die Hilberttransformation.- 10.1. Der zeitdiskrete zeitinvariante Hilberttransformator.- 10.2. Die Hilbertmatrix für ungerade N.- 10.3. Die Hilbertmatrix für gerade N.- 10.4. Zahlenbeispiel.- 10.5. Der zeitdiskrete zeitvariante Hilberttransformator.- 10.6. Die infinite Hilberttransformation.- Anhang 1: Definitionen und Rechenregeln der finiten Systemtheorie.- I. Vektoren und Matrizen mit zyklischen Indexen.- 1. Vektoren mit zyklischem Index.- 2. Die zyklische Matrix.- 3. Die Hauptachsentransformation der zyklischen Matrix.- 4. Die Z-Transformationsmatrix (Laplacematrix).- 5. Die Fouriermatrix.- 6. Die Diskrete Fouriertransformation.- 7. Zusammenhang zwischen finiter und infiniter Systemtheorie.- 7.1. Die endliche Fourierreihe.- 7.2. Die unendliche Fourierreihe.- 7.3. Das Fourierintegral und das Laplaceintegral.- 7.4. Die finite und die infinite Z-Transformation.- 8. Die Schnelle Fouriertransformation.- 9. Rechenregeln für zyklische Matrizen.- 10. Die zyklische Faltung.- 11. Die zyklischeEntfaltung.- 12. Die zyklischen Differenzenmatrizen.- 13. Polynomentwicklung einer zyklischen Matrix.- 14. Faktorisierung einer zyklischen Matrix.- 15. Partialbruchzerlegung der Inversen einer zyklischen Matrix.- 16. Die Inverse einer zyklischen Matrix.- II. Streifen-Dreiecksmatrizen.- 17. Die Dreiecksmatrix mit Streifenstruktur.- 18. Rechenregeln für Streifendreiecksmatrizen.- 19. Dreiecksfaltung.- 20. Dreiecksentfaltung.- 21. Polynomentwicklung einer Streifen-Dreiecksmatrix.- 22. Faktorisierung einer Streifen-Dreiecksmatrix.- 23. Partialbruchentwicklung der Inversen einer Streifen-Dreiecksmatrix.- 24. Die Inverse einer Streifen-Dreiecksmatrix.- 25. Die Dreiecks-Differenzenmatrizen.- 26. Faktorisierung eines Differenzenpolynoms.- 27. Partialbruchzerlegung der Inversen eines Differenzpolynoms.- 28. Die Inverse eines Differenzenpolynoms.- 29. Summierung einer Potenzfolge.- Anhang 2: Beweise.- 1. Beweis der Formeln (A112) und (A113).- 2. Beweis der Formel (A118).- 3. Beweis der Strukturregel der Pascalmatrix Gl. (7.20).- Literatur.