Integralgeometrie

Die von Blaschke begriindete Integralgeometrie handelt von beweglichen Fi guren im Raum und von invarianten Integralen, die sich bei ihnen bilden lassen. Dieses Zitat aus Hadwiger [1957] (S. 225) beschreibt recht gut die wesentlichen Elemente der Integralgeometrie: Es geht urn bewegte Figuren, also der Operation einer Gruppe unterworfene geometrische Objekte, und urn invariante Mittelwerte im Zusammenhang mit solchen bewegten Figuren. Integralgeometrie ist also ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit der Bestimmung und Anwendung von Mittelwerten geometrisch definierter Funk tionen beziiglich invarianter Maf3e befaBt.~ Zu den Grundlagen der Integral geometrie gehoren daher einerseits Teile der Theorie invarianter Maf3e auf topologischen Gruppen und homogenen Raumen, andererseits gewisse Ge biete aus der Geometrie der Punktmengen, wie etwa der Polyeder, konvexen Mengen oder differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten. Urspriinglich aus Fragestellungen iiber geometrische Wahrscheinlichkei ten entstanden und von Blaschke, Chern, Hadwiger, Santal6 und anderen ab 1935 entwickelt, hat sich die Integralgeometrie in jiingerer Zeit als wichtiges Hilfsmittel in der Stochastischen Geometrie und deren Anwendungsgebieten (Stereologie, Bildanalyse, raumliche Statistik) erwiesen. Dies hat zu neuen Resultaten gefiihrt, zu Verallgemeinerungen klassischer integralgeometrischer Formeln, aber auch zu andersartigen Zugangen und zu neuen Gesichtspunk ten. Das vorliegende Buch ist sowohl klassischen Ergebnissen der Integralgeo metrie gewidmet als auch neueren Entwicklungen. Es unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht wesentlich von den vorhandenen Monographien.

Klappentext

Die von Blaschke begriindete Integralgeometrie handelt von beweglichen Fi­ guren im Raum und von invarianten Integralen, die sich bei ihnen bilden lassen. Dieses Zitat aus Hadwiger [1957] (S. 225) beschreibt recht gut die wesentlichen Elemente der Integralgeometrie: Es geht urn bewegte Figuren, also der Operation einer Gruppe unterworfene geometrische Objekte, und urn invariante Mittelwerte im Zusammenhang mit solchen bewegten Figuren. Integralgeometrie ist also ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit der Bestimmung und Anwendung von Mittelwerten geometrisch definierter Funk­ tionen beziiglich invarianter Maf3e befaBt.~ Zu den Grundlagen der Integral­ geometrie gehoren daher einerseits Teile der Theorie invarianter Maf3e auf topologischen Gruppen und homogenen Raumen, andererseits gewisse Ge­ biete aus der Geometrie der Punktmengen, wie etwa der Polyeder, konvexen Mengen oder differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten. Urspriinglich aus Fragestellungen iiber geometrische Wahrscheinlichkei­ ten entstanden und von Blaschke, Chern, Hadwiger, Santal6 und anderen ab 1935 entwickelt, hat sich die Integralgeometrie in jiingerer Zeit als wichtiges Hilfsmittel in der Stochastischen Geometrie und deren Anwendungsgebieten (Stereologie, Bildanalyse, raumliche Statistik) erwiesen. Dies hat zu neuen Resultaten gefiihrt, zu Verallgemeinerungen klassischer integralgeometrischer Formeln, aber auch zu andersartigen Zugangen und zu neuen Gesichtspunk­ ten. Das vorliegende Buch ist sowohl klassischen Ergebnissen der Integralgeo­ metrie gewidmet als auch neueren Entwicklungen. Es unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht wesentlich von den vorhandenen Monographien.

Inhalt
1 Invariante Maße.- 1.1 Gruppen und homogene Räume der euklidischen Geometrie.- 1.2 Invariante Maße auf Bewegungsgruppen.- 1.3 Invariante Maße auf Räumen von Ebenen.- 2 Mengen und Funktionale.- 2.1 Konvexe Körper und Konvexring.- 2.2 Quermaßintegrale.- 2.3 Krümmungsmaße.- 2.4 Additive Fortsetzung auf den Konvexring.- 3 Die kinematische Hauptformel.- 3.1 Translative Integralformeln.- 3.2 Drehintegrale.- 3.3 Croftonsche Formeln.- 4 Weitere Integralformeln.- 4.1 Drehsummenintegrale.- 4.2 Projektionsformeln.- 4.3 Integralformeln für Zylinder.- 5 Anwendungen in der Stochastischen Geometrie.- 5.1 Geometrische Wahrscheinlichkeiten.- 5.2 Stereologie und Bildanalyse.- 5.3 Berührmaße.- 6 Integralgeometrische Transformationen.- 6.1 Blaschke-Petkantschin-Formeln.- 6.2 Verteilungen zufälliger Unterräume.- 6.3 Weitere Anwendungen.- 7 Anhänge.- 7.1 Anhang I: Konvexgeometrie.- 7.2 Anhang II: Meßbarkeitsfragen.- 7.3 Anhang III: Relativ invariante Maße.- Symbolverzeichnis.