Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB man noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der Art dieser zusatzlichen Daten spricht man in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = 0 stellen (vgl.
2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = 0 gestellt werden (vgl.
1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn man die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

Inhalt
Erstes Kapitel Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen.- § 1. Dirichletsches Randwertproblem der Potentialgleichung.- § 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung.- § 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differentialgleichungen.- §4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichungen.- § 5. Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- § 6. Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik und Akustik.- Zweites Kapitel Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 7. Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 9. Vollständige und singuläre Integrale.- § 10. Berührungstransformationen.- § 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 13. Vollständige Integrale; Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.- Drittes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 15. Anfangswertproblem zweigliedriger Systeme (14.1).- § 16. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) mittels Differenzenverfahren.- § 17. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) durch Iteration.- § 18. Massausche Gitterkonstruktion.- § 19. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- § 20. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit geradlinigen Charakteristiken.- §21. Anwendungen auf die Flächentheorie.- § 22. Anwendungen auf die stationäre Gasströmung.-§23. Anwendungen auf die nichtstationäre Gasströmung.- § 24. Anwendungen auf die Oberflächenwellen und auf plastische Spannungsfelder.- § 25. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung.- § 26. Anfangswertproblem und Integration n-gliedriger Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 27. Unstetigkeiten bei Lösungen hyperbolischer Differentialgleichungen.- § 28. Riemannsches Integrationsverfahren.- §29. Anwendung auf die eindimensionale nichtstationäre und die zweidimensionale stationäre Gasströmung.- Viertes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die quasilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 30. Charakteristikentheorie eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 31. Charakteristikentheorie quasilinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- § 32. Anwendung auf stationäre und nichtstationäre Gasströmungen.- § 33. Allgemeine Eigenschaften linearer Differentialgleichungen.- §34. Wellengleichung im R1 und R3; Prinzip von Huyghens.- § 35. Wellengleichung im R2; Absteigmethode von Hadamard.- § 36. Anwendung auf die linearisierte stationäre Überschallströmung um Drehkörper (linienhafte Quellenverteilung).- § 37. Wellengleichung im Rm; Darbouxsche Gleichung.- § 38. Reduktion dreidimensionaler Probleme auf zwei- und eindimensionale durch Symmetrieannahmen.- § 39. Hadamardsche Integrationstheorie.- §40. Erläuterung des hadamardschen Grenzprozesses.- §41. Anwendung auf die Wellengleichung im R2.- Fünftes Kapitel Behandlung von Anfangswertproblemen mit Hilfe des Distributionskalküls.- §42. Grundzüge des Distributionskalküls.- § 43. Sprungfunktionen.- §44. Faltungsgleichungen undAnfangswertprobleme.- § 45. Anwendung des Distributionskalküls auf die dreidimensionale stationäre Überschallströmung.- §46. Anwendung der Laplace-Transformation auf Anfangswertprobleme.- Namenverzeichnis.